Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
a) Nombre dérivé, fonction dérivée
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivabilité en un point, nombre dérivé. La dérivabilité entraîne la continuité. Dérivabilité à gauche, à droite. | Définition par le taux d’accroissement. Caractérisation : une fonction $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si elle admet un développement limité à l’ordre 1 en $a$. Dans ce cas $\displaystyle f(a + h) = f(a) + f'(a)h + h\varepsilon(h), \text{ où } \varepsilon(h) \underset{h\to 0}{\longrightarrow} 0.$ Interprétation géométrique : tangente. Interprétation cinématique : vitesse instantanée. |
Dérivabilité et dérivée sur un intervalle. | |
Opérations sur les fonctions dérivables : combinaison linéaire, produit, quotient, composition, réciproque. | Tangente au graphe d’une fonction réciproque. |
exo7 5025
Soit la courbe paramétrée par : \(x = 2t^3+3t^2\),\(y = 3t^2+6t\). Calculer la lo ...
exo7 5236
Etudier les deux suites \(u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) et ...
exo7 5373
Soient \(a_{i,j}\) (\((i,j)\) élément de ...
exo7 5383
Soit \(f\) une fonction définie sur un voisinage de \(0\) telle que ...
exo7 5407
Soit \(f\in C^1([a,b],\Rr)\) telle que ...
exo7 5410
Soit \(f\) une fonction convexe sur un intervalle ouvert \(I\) de ...
exo7 5414
Montrer que la fonction définie sur \(\Rr\) par \(f(x)=e^{-1/x^2}\) si ...
exo7 5417
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) à valeurs dans ...
exo7 5419
Etudier la dérivabilité à droite en \(0\) de la fonction ...
exo7 5421
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur ...
exo7 5422
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr_+^*\) tel ...
exo7 5424
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr\) vérifia ...
exo7 5430
Soit \(f(x)=\frac{x}{1-x^2}\). Calculer \(f^{(n)}(0)\) en moins de ...
exo7 5439
Soit \(f(x)=1+x+x^2+x^3\sin\frac{1}{x^2}\) si \(x\neq0\) et ...
exo7 5450
Etude complète de la fonction \(f(x)=\frac{1}{x-1}\int_{1}^{x}\frac{t^2}{\sqrt{1+t^8}}\;dt\).
exo7 5453
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\). Pour ...
exo7 5464
Déterminer \(\lim_{x\rightarrow 1}\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}\).
exo7 548
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 552
Étudier suivant les valeurs données à \(u_0\) appartenant à \(\mathbb{C}\) les su ...
exo7 5883
Trouver les fonctions \(f\) dérivables sur \(\Rr\) vérifiant ...
exo7 5885
Trouver toutes les applications \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\), continues sur \(\Rr\) ...
exo7 6153
Soit \(I=[a,b]\) et \(f : I\to\R\) dérivable ; soit ...
exo7 616
Calculer lorsqu’elles existent les limites suivantes ...
exo7 6240
On considère \(T:C([0,1])\to C([0,1])\) qui à \(f\) associe ...
exo7 681
La fonction \(\dfrac 1x\) est-elle lipschitzienne sur \(]0, + \infty[\) ? sur ...
exo7 698
Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : ...
exo7 6981
Représenter les courbes d’équation cartésienne \(y=f(x)\), donner l’équation de leur tangente au point d’abscisse ...
exo7 699
Déterminer \(a,b \in \Rr\) de manière à ce que la fonction \(f\) définie sur ...
exo7 700
Soit \(f : \Rr^* \longrightarrow \Rr\) définie par ...
exo7 702
Calculer les dérivées d’ordre \(n\) des fonctions : ...
exo7 704
Etudier la dérivabilité sur \(\mathbb{R}\) des applications suivantes : ...
exo7 706
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\).
exo7 707
Prolonger par continuité en \(0\) et étudier la dérivabilté de
exo7 708
Soit ...
exo7 709
Soit \(f (x) = \exp (-\frac 1{x^2})\) si \(x \neq 0\) et ...
exo7 711
Soit \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) définie par : ...
exo7 713
La fonction \(x\rightarrow \cos \sqrt{x}\) est-elle dérivable en \(0\) ?
exo7 714
En quels points la fonction \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) définie par : ...
exo7 720
Soit \(f\) une fonction continue et dérivable sur \([a,+\infty[\) et telle que ...
exo7 733
Déterminer les extremums de \(f (x) = x^4-x^3 + 1\) sur \(\Rr\).
exo7 735
Trouver les fonctions \(f:{\Rr\rightarrow \Rr}\) dérivables en \(0\) telles que : ...
exo7 736
Soit \(f\) dérivable sur \({\Rr }\) telle que ...
exo7 738
Soient \(f,g :[a , b] \longrightarrow \R\) deux fonctions continues sur ...
exo7 739
Soit \(n \geq 2\) un entier fixé et ...
exo7 740
On considère la fonction \(f : \R \to \R\) définie par ...
exo7 772
Préciser les comportements
de \(\displaystyle{x\mapsto \frac{x^2-e^x}{x-e}}\) quand ...
exo7 798
Dire (avec justification) si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
exo7 802
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \([0,1]\), vérifiant :
exo7 874
Trouver les \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) deux fois dérivables telles que ...
Forward pass et interprétation d'un neurone sigmoïde
On considère un réseau réduit à un seul neurone sigmoïde, de paramètres \(w = 2\) et ...