Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
a) Produit scalaire
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Produit scalaire. Espace préhilbertien, espace euclidien. | Notations $\langle x, y\rangle$, $(x \mid y)$, $x \cdot y$. |
Produit scalaire canonique sur $\mathbb{R}^n$, sur $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{R})$. | Expressions $X^\top Y$, $\operatorname{tr}(A^\top B)$. |
Produit scalaire $\langle f, g\rangle = \displaystyle\int_a^b fg$ sur $\mathscr{C}\big([a, b], \mathbb{R}\big)$. | Exemples de produits scalaires intégraux sur $\mathbb{R}[X]$ et $\mathscr{C}\big([a, b], \mathbb{R}\big)$. |
Calcul différentiel
Cet exercice traite des notions de dérivées partielles, continuité et différentiabilité.
exo7 1450
A deux polynômes \(P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}\) et \(Q=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}\) d ...
exo7 1451
Pour quelles valeurs de \(\lambda\) les formes bilinéaires ci-dessous définissent-elles un produit scalaire sur ...
exo7 1453
Sur \(\R_{3}[X]\) on considère les formes bilinéaires suivantes. Dire lesquelles sont des produits scalaire. ...
exo7 1454
Pour quelles valeurs de \(\lambda\) les formes bilinéaires ci-dessous définissent-elles un produit scalaire sur ...
exo7 1455
Soient \(x = (x_1, x_2)\) et \(y = (y_1, y_2)\) appartenant à ...
exo7 1456
Soient \(x,y\) et \(z\) trois réels tels que ...
exo7 1457
Soient \(x,y\) et \(z\) trois réels tels que ...
exo7 1458
Soient \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel non nul, ...
exo7 1459
Soient \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1462
Soit \(E = \left\{ f : \Rr \rightarrow \Rr \text{ continue $2\pi$-périodique}\right\}\). Montrer que ...
exo7 1463
Soit \(E = \Rr_{n}[X]\). Montrer que ...
exo7 1464
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) et \(g\) ...
exo7 1466
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et ...
exo7 1467
Soit \(E\) un espace euclidien, et \(\left( e_{1},...,e_{n}\right)\) des vecteurs ...
exo7 1468
Montrer que sur \(M_{n}({\Rr})\) l’application : ...
exo7 1469
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) et \(g\) ...
exo7 1471
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f:E\rightarrow E\) tel que ...
exo7 1472
On munit \({\Rr}[X]\) du produit scalaire : ...
exo7 1473
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 1474
Soit \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1475
Montrer que l’application \((A, B)\mapsto tr({}^t\! AB)\) de ...
exo7 1481
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à ...
exo7 1482
Dans \(\R ^3\) muni du produit scalaire euclidien canonique, donner la matrice de la projection orthogonale sur le ...
exo7 1496
Soit \(A = \left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&1&1\\1&1&2\end{array}\right)\). Montrer que ...
exo7 1497
Soient \(E = \R_n[X], I_n = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} t^ne^{\frac{-t^2}{2}}dt\).
exo7 1501
On munit le \(\Rr\)-espace vectoriel \(\Rr_2[X]\) du produit scalaire défini par ...
exo7 1502
Soit \(f:\Rr^3\times\Rr^3\to \Rr\) définie de la manière suivante : si ...
exo7 1503
Orthonormaliser dans \(\Rr^{3}\) la famille \(x_{1} = (1, -2, 2)\), ...
exo7 1504
Déterminer une base orthonormée de \(\Rr_{2}[X]\) muni du produit scalaire ...
exo7 1505
On considère la forme bilinéaire \(b\) de \(\R^{4}\) définie par : ...
exo7 1508
A deux polynômes \(P\) et \(Q\) de \(\R_{n}[X]\) ...
exo7 1530
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(3 .\)
exo7 1536
Soit \(\, E\,\) un espace euclidien de dimension \(\, 3\, .\)
exo7 1999
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan et ...
exo7 2222
Notons \(\tilde{A}_k\) la matrice carrée d’ordre \((n-k+1)\) formée des éléments ...
exo7 2460
Identité du parallélogramme
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vecto ...
exo7 2461
Soit \(E=\R[X]\) l’espace des polynômes à coefficients réels. On définit ...
exo7 3660
Dire si les applications suivantes sont des produits scalaires :
exo7 3661
Trouver une base orthonormée de \(\R_3[X]\) pour le produit scalaire : ...
exo7 3662
Soit \(E = \R_2[X]\) muni du produit scalaire : ...
exo7 3663
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien. On pose pour \(\vec x \ne \vec 0\) : ...
exo7 3664
Soit \(E\) un espace euclidien.
exo7 3667
On munit \(\R^n\) du produit scalaire usuel. Soit ...
exo7 3668
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(p \in \mathcal{L}(E)\) une projecti ...
exo7 3675
Soient \(E\) espace vectoriel euclidien, \(\vec a \in E\) et ...
exo7 3676
Soient \({f_1,f_2,\dots,f_n} : {[0,1]} \to {\R}\) continues.
Existe-t-il ...
exo7 3680
Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)\). Montrer que \(\det(^tAA) \ge 0\).
exo7 3681
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à 3. Existe-t-il trois vecteurs ...
exo7 3682
Soit \(E\) = \(\R[X]\). On pose ...