Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
a) Ouverts de $\mathbb{R}^2$, fonctions continues
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Boules de $\mathbb{R}^2$ muni de la norme euclidienne canonique. Ouverts. | |
Continuité d’une fonction définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. | Représentation graphique d’une fonction de deux variables par une surface. La notion de continuité est introduite uniquement en vue du calcul différentiel. L’étude de la continuité d’une fonction n’est pas un objectif du programme. |
Associer une fonction à ses courbes de niveau
On considère les quatre fonctions suivantes :
...
Continuité de Fonctions
La fonction \(f\) définie sur \(\R^2\) par ...
Continuité, dérivées partielles et non-différentiabilité en l'origine
On donne \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Courbes de niveau
A chaque fonction définie ci-dessous (1-6), associer ses courbes de niveaux (A-F).
- ...
Différentiabilité
Soit \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Différentiabilité
Soit \(f: \R^2 \to \R,\ (x,y) \mapsto \sqrt[5]{2x^3+y^2}\). On note ...
Différentiabilité d'une fonction de deux variables
On donne \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : ...
Domaine de définition
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes et si possible donner une représentation graphique.
Domaine, courbes de niveau et continuité
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Etude d'un fonction de deux variables
On considère trois fonctions de deux variables \(f\), \(g\) et ...
Etude d'une fonction
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
exo7 1740
Soit \(x = (x_1, \cdots x_n) \in \R^n\). On pose ...
exo7 1741
Représenter graphiquement et déterminer si les ensembles suivants sont des ouverts.
...
exo7 1754
Les sous-ensembles de \(\R^2\) suivants sont-ils ouverts ? Fermés ? Compacts ? ...
exo7 1769
Soit \(X\) une partie de \({\Rr}^{2}\); montrer qu’elle est fermée si et seulemen ...
exo7 1770
Soient \(k\in {\Rr}^{+*},\) ...
exo7 1789
Étudier la continuité des fonctions définies sur \(\R^2\) par ...
exo7 1790
Étudier la continuité de la fonction \(f_1:\R^2\rightarrow\R\) définie par ...
exo7 1791
Prolonger par continuité la fonction \({g}:{(\Rr^{2})^{*}}\to{\Rr}\), ...
exo7 1792
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) telle que ...
exo7 1793
Trouver les fonctions \(f\) continues sur \({\Rr}^{2}\) telles que : ...
exo7 1794
Etudier la continuité sur \(\R^2\) de la fonction suivante :
exo7 1795
On définit la fonction \(f\) sur \(\R^2 \setminus \{ (x,x) \; ;\; x\in \R \}\) pa ...
exo7 1796
Etudier la continuité en \((0,0)\) des fonctions suivantes :
exo7 1797
...
exo7 1806
Montrer qu’une norme \(N\) sur \({\Rr}^{2}\) ne peut avoir des dérivées partielle ...
exo7 1811
Soit \(f:\rbrack 0,1\lbrack \times \rbrack 0,1\lbrack \to \R\), ...
exo7 1812
Soit \(f:\R^2 \to \R\), ...
exo7 1841
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) continue telle que : ...
exo7 1854
Soient \(U=\{(x,y)\in \R^2,\, x>0\}\) et ...
exo7 2497
Etudiez la continuité des applications suivantes:
exo7 2500
Continuité sur \(\mathbb{R}^2\) des fonctions suivantes:
exo7 2510
Soit \(\alpha >0\). Étudier la différientiabilité à l’origine de l’application ...
exo7 2511
Soit \(f:\Rr ^2 \to \Rr\) définie par ...
exo7 2616
Tracer le graphe de la fonction \(f\colon \R^2 \longrightarrow\R\) définie par ...
exo7 2619
Soit \((A_n)\) (\(n\in\N\)) une suite de parties ouvertes de ...
exo7 2633
Soit la fonction \(f\colon\R^2\to\R\) définie par ...
exo7 2647
Soit \(D\) un sous-ensemble de \(\R^n\).
exo7 4139
Sur quelle partie \(D\) de \(\R^3\) la fonction ...
exo7 4161
On pose \(f(x,y) = (x+y,xy) = (u,v)\). Montrer que \(f\) induit un ...
exo7 4174
Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^n\) et ...
exo7 4178
Pour chacune des trois normes classiques sur \(\R^2\) dire en quels points elles sont différentiables.
exo7 4181
Soit \(U\) un ouvert de \(\R^2\).
exo7 4182
On pose pour \((x,y)\in\R^2\) : ...
exo7 4185
Soit \(\Omega\) un ouvert borné de \(\R^2\) et ...
exo7 4728
Déterminer toutes les fonctions \(f : \R \to \R\) continues, périodiques de pé ...
exo7 4791
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) continue. On pose ...
exo7 4793
On note \(\Omega = \R^2\setminus \{(0,0)\}\) et ...
exo7 4794
Trouver une fonction \(f : {\R^2} \to \R\) discontinue en \((0,0)\) mais telle qu ...