Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
c) Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment à valeurs dans $\mathbb{K}$. | Le programme n’impose pas de construction particulière. Interprétation géométrique de l’intégrale. Notations $\displaystyle\int_{[a,b]} f$, $\displaystyle\int_a^b f$, $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$. |
Linéarité, positivité et croissance de l’intégrale. Inégalité triangulaire intégrale : $\left\lvert \displaystyle\int_{[a,b]} f \right\rvert \leqslant \displaystyle\int_{[a,b]} \lvert f\rvert$. | |
Relation de Chasles. | Extension de la notation $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ au cas où $b \leqslant a$. Propriétés correspondantes. |
Si $f$ est continue, à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ et si $\displaystyle\int_{[a,b]} f = 0$, alors $f = 0$. | |
Intégrale d’une fonction paire ou impaire sur un segment centré en 0. Intégrale d’une fonction périodique sur un intervalle de période. | Valeur moyenne d’une fonction continue par morceaux sur un segment. |
exo7 5026
Calculer la longueur totale des courbes suivantes :
exo7 5079
Soit \(k\) un réel distinct de \(-1\) et de ...
exo7 5087
Existence et calcul de \(\int_{0}^{\sin^2x}\Arcsin\sqrt{t}\;dt+\int_{0}^{\cos^2x}\Arccos\sqrt{t}\;dt\).
exo7 520
Soit \(H_n = 1 + \dfrac12 + \cdots + \dfrac1n\).
exo7 5222
Pour \(n\) entier naturel non nul, on pose ...
exo7 5418
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^3\) sur ...
exo7 5422
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr_+^*\) tel ...
exo7 5444
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues et strictement positives sur ...
exo7 5445
Soit \(f\) une application de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5446
Limites de ...
exo7 5447
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^2\) sur ...
exo7 5448
On suppose que \(f\) est une fonction de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5449
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues strictement positives sur \([a,b]\) ...
exo7 5452
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5453
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\). Pour ...
exo7 5454
Soit \(a\) un réel strictement positif et \(f\) une application de classe ...
exo7 5455
Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) telle que ...
exo7 5456
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues par morceaux et positives sur ...
exo7 5459
Déterminer les limites quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de
...
exo7 5462
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5463
Déterminer les fonctions \(f\) continues sur \([0,1]\) vérifiant ...
exo7 5465
Soit \(f(t)=\frac{t^2}{e^t-1}\) si \(t\neq0\) et ...
exo7 5467
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés : ...
exo7 5470
Calculer les intégrales suivantes (\(a\), \(b\) réels donnés, ...
exo7 5472
Etude de \(f(x)=\int_{-1}^{1}\frac{\sin x}{1-2t\cos x+t^2}\;dt\).
exo7 5473
Etude de \(f(x)=\int_{0}^{1}\mbox{Max}(x,t)\;dt\).
exo7 5474
Pour \(n\) entier naturel, on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\sin^nx\;dx\).
exo7 5475
Pour \(n\) entier naturel, on pose \(In=\int_{0}^{\pi/4}\tan^nx\;dx\).
exo7 5485
Sur \(\Rr[X]\), on pose \(P|Q=\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\;dt\). Existe-t-il ...
exo7 5499
Soit \(f\) continue strictement positive sur \([0,1]\). Pour ...
exo7 5574
Calculer pour \(p\) et \(q\) entiers naturels donnés les intégrales suivantes : ...
exo7 5674
\(E =C^0(\Rr,\Rr)\). Pour \(f\) élément de \(E\) ...
exo7 5713
Etudier l’existence des intégrales suivantes
| 1) (** ... |
exo7 5714
Etudier l’existence des intégrales suivantes.
| 1) (* ... |
exo7 5716
Existence et calcul de :
| 1) (** I) ... |
exo7 5717
Deux calculs de \(I =\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin x)\;dx\).
1) (** I) En utilisant ...
exo7 5718
En utilisant un développement de \(\frac{1}{1-t}\), calculer ...
exo7 5720
1) (** I) Trouver un équivalent simple quand \(x\) tend vers ...
exo7 5721
Etude complète de \(f~:~x\mapsto\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt\).
exo7 5722
(Hors programme) Convergence et calcul de \(\int_{1}^{+\infty}\frac{(-1)^{E(x)}}{x}\;dx\).
exo7 5723
Soit \(f\) définie, continue, positive et décroissante sur \([1,+\infty[\), intég ...
exo7 5724
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr^+\) à val ...
exo7 5725
Soit \(f\) de classe \(C^2\) sur \(\Rr\) à valeu ...
exo7 5733
Montrer que pour tout réel \(a > 0\), ...
exo7 5736
Pour \(x>0\), on pose \(f(x) =\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}\). Trouver un ...
exo7 5737
Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...
exo7 5738
Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...
exo7 5739
Montrer que \(\int_{0}^{1}x^{-x}\;dx =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}\) et ...
exo7 5741
Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.
exo7 5742
Calculer \(\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1+x^2}\;dx\) et ...