Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Polynômes et fractions rationnelles
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L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et fractions rationnelles. Il s’agit d’objets particulièrement riches, dont l’étude interagit avec beaucoup de thèmes abordés pendant le semestre. Par exemple :
- l’étude des équations algébriques enrichit le calcul algébrique et suggère des problèmes de localisation des racines, mettant en jeu des techniques analytiques dans le cas réel, plus géométriques dans le cas complexe ;
- l’interpolation de Lagrange permet de reconstituer un polynôme en fonction de ses valeurs en suffisamment de points et donne lieu à des problèmes issus de la théorie de l’approximation (majoration de l’erreur d’interpolation).
L’arithmétique de $\mathbb{K}[X]$ est développée selon le plan déjà utilisé pour l’arithmétique de $\mathbb{Z}$, ce qui autorise un exposé allégé. Le programme se limite au cas où le corps de base $\mathbb{K}$ est égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Anneau des polynômes à une indéterminée 95
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Arithmétique dans $\mathbb{K}[X]$ 74
- f) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 82
- g) Formule d’interpolation de Lagrange 13
- h) Fractions rationnelles 39
- i) Décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}$ 70
exo7 407
Soit \(\theta \in\mathbb{R}\) ; on suppose \(\sin n\theta \neq 0\). Déterminer le ...
exo7 408
Soit \(a\in\mathbb{C}\), \(P \in \mathbb{C}[X]\) et ...
exo7 409
Pour \(n\in \mathbb{N}^{\ast}\), quel est l’ordre de multiplicité de 2 comme racine du polynôme ...
exo7 410
Pour quelles valeurs de \(a\) le polynôme \((X+1)^7-X^7-a\) admet-il une racine m ...
exo7 411
Montrer que le polynôme \(X^3+2\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\). Factor ...
exo7 412
Dans \(\mathbb{R}[X]\) et dans \(\mathbb{C}[X]\), décomposer les polynômes suivan ...
exo7 413
Quelle est la décomposition de \(X^6+1\) en facteurs irréductibles dans ...
exo7 414
Soit \(P\) le polynôme \(X^4+2X^2+1\). Déterminer les multiplicités des racines ...
exo7 4142
Soient \(P \in \C[X]\) et \(f : {\R^2} \to \C, {(x,y)} \mapsto {P(x+iy).}\) Montr ...
exo7 415
Soit le polynôme \(P=X^8+2X^6+3X^4+2X^2+1\).
exo7 416
Soit \(E\) le polynôme du troisième degré : \(aX^3+bX^2+cX+d\) avec ...
exo7 417
Soient \(x_1, x_2, x_3\) les racines de \(X^3-2X^2 + X + 3\). Calculer ...
exo7 4175
Soit \(U\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré \(n\) et à raci ...
exo7 418
Soit \(n \in \Nn\) fixé. Montrer qu’il y a un nombre fini de polynômes unitaires de degré ...
exo7 419
Soit \(n \geq 2\) et \(P_n (X) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac 1{k ! }X^k\). ...
exo7 420
Résoudre les équations :
exo7 421
Soit \(P \in \Rr[X]\) scindé sur \(\Rr\) à racines simples.
exo7 422
Soit \(n \in \Nn^*\) et \(P (X) = (X + 1)^n- (X-1)^n\).
exo7 423
Factoriser dans \(\Rr[X]\) :
exo7 424
Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\) il existe un polynôme \(P_n\) et ...
exo7 425
Déterminer, s’il en existe, tous les idéaux \(J\) de \(\mathbb{R}[X]\) tels que : ...
exo7 4250
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^{n+p}\) telle que ...
exo7 426
Trouver un polynôme \(P\) de degré \(\leq2\) tel que ...
exo7 4263
...
exo7 4269
\(\int_0^{+\infty} \frac{ d t}{(1+t^2)^2} = \frac{\pi}{4}\)
...
exo7 427
Trouver le polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à \(3\) tel que : ...
exo7 4272
...
exo7 4280
Calculer \(I_n = \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{(t+1)(t+2)\dots(t+n)}\).
exo7 429
Soit \((P_0, P_1, \ldots, P_n)\) une famille de polynômes de \(\mathbb{K}[X]\) te ...
exo7 431
Résoudre l’équation d’inconnue \(P\in \Cc[X]:P(X+1)P(X)=-P(X^{2}).\)
exo7 432
Soit \((P,Q)\in \Rr_{n}[X]^{2}\) tels que ...
exo7 433
Soient \(W_{n}=(X^{2}-1)^{n}, \ L_{n}=\frac{1}{2^{n}n!}W_{n}^{(n)}.\)
exo7 434
Montrer que si \(n\geq 3,\) l’équation \(x^{n}+y^{n}=z^{n}\) n’a pas de solution ...
exo7 436
Lemme : Soit \(P\in \Cc[X]\) non constant, \(z_{0}\in \Cc,\) montrer que ...
exo7 437
Soit \(n\in \Nn^{*},\) et \(P(X)=(X+1)^{n}-(X-1)^{n}.\) Quel est le degré de ...
exo7 438
Soit \(P\in {\Rr}[X]\) un polynôme dont tous les zéros sont réels et distincts, montrer que ...
exo7 439
Soit \(K\subseteq\Cc\) un corps pour les lois usuelles sur \(\Cc\) et ...
exo7 440
Soient \(m,n\in [1,+\infty[\), \(d=\mathrm{pgcd} (m,n)\) et ...
exo7 442
Soit \(P=X^4-5X^3+9X^2-15X+18\in\Cc[X]\). Déterminer toutes les racines complexes de ...
exo7 443
Décomposer les fractions rationnelles suivantes : \[\frac{3}{X^3 + 1} \text{ sur } \Cc \text{ puis sur } \Rr\] ...
exo7 444
Décomposer \(\frac{X^3-3X^2+X-4}{X-1}\) en éléments simples sur \(\mathbb{R}\). ...
exo7 4447
Donner un équivalent simple de \(\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{n^2-k^2}\).
exo7 445
Décomposition en éléments simples \(\displaystyle\Phi={2x^4+x^3+3x^2-6x+1\over2x^3-x^2}.\)
exo7 447
Décomposition en éléments simples \(\displaystyle\Phi={4x^6-2x^5+11x^4-x^3+11x^2+2x+3\over x(x^2+1)^3}.\)
exo7 448
Soient \(a\) et \(b\) deux réels distincts et ...
exo7 449
Donner une CNS sur \(f\in \Cc(X)\) pour qu’il existe \(g\in \Cc(X)\) tel que ...
exo7 450
On appelle valuation une application \(v :\Cc(X)\rightarrow {\Zz}\cup \{\infty \}\) telle que : ...
exo7 4516
Trouver une suite de polynômes \((P_n)\) convergeant simplement (resp. uniformément) vers la fonction nulle sur ...
exo7 4522
Soit \(p \in \N\) fixé et \((P_n)\) une suite de fonctions polynomiales de degrés ...
exo7 4544
Décomposer en éléments simples sur \(\C\) la fractions rationnelle : ...