Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
D - Sous-espaces affines d’un espace vectoriel
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Le but de cette partie, qu’il convient d’illustrer par de nombreuses figures, est double :
- montrer comment l’algèbre linéaire permet d’étendre les notions de géométrie affine étudiées au collège et au lycée et d’utiliser l’intuition géométrique dans un cadre élargi.
- modéliser un problème affine par une équation $u(x) = a$ où $u$ est une application linéaire, et unifier plusieurs situations de ce type déjà rencontrées.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Présentation informelle de la structure affine d’un espace vectoriel : points et vecteurs. Translation. | L’écriture $B = A + \vec{u}$ est équivalente à la relation $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$. |
Sous-espace affine d’un espace vectoriel, direction. Hyperplan affine. Intersection de sous-espaces affines. | Sous-espaces affines de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$. |
Notion d’équation linéaire, i.e. de la forme $u(x) = a$ où $u \in \mathscr{L}(E, F)$, $a \in F$. L’ensemble des solutions est soit l’ensemble vide, soit un sous-espace affine dirigé par $\operatorname{Ker} u$. | Retour sur les systèmes linéaires, les équations différentielles linéaires d’ordres 1 et 2, les suites arithmético-géométriques, la recherche de polynômes interpolateurs. |
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Dans un rond on donne les droites \(D : \begin{cases}x +2y - z = 1 \cr 2x - y +2z = 2 \cr\end{cases}\) ...
exo7 4966
Soit \(ABCD\) un tétraèdre régulier de côté \(a\). Chercher la distance entre deu ...
exo7 4967
Dans un rond on donne la droite \(D : \begin{cases} x +2y - z = -3 \cr x - y +2z = -4\cr\end{cases}\) e ...
exo7 4968
Dans un rond on donne le plan \(P : x + 2y + 3z = 4\). Déterminer l’expression analytique de la projectio ...
exo7 4981
Soient \(D_1\), \(D_2\), \(D_3\) trois droites d ...
exo7 5042
On considère la courbe \(\mathcal{C}\) définie par : \(x(t) = \frac{t^4}{1+t^2}\) ...
exo7 5165
On munit \(\Rr^n\) des lois produit usuelles. Parmi les sous-ensembles suivants ...
exo7 5196
On donne les points \(A(1,2)\), \(B(-2,1)\) et ...
exo7 5198
Soit \((ABDC)\) un parallélogramme. Déterminer les coordonnées de \(D\) dans le r ...
exo7 5199
Soit \((E)\) l’ensemble d’équation cartésienne \(2x^2+5xy+3y^2-3x-2y-5=0\). Montr ...
exo7 5203
Soit \(\mathcal{C}\) la courbe d’équation \(x^2+y^2-2x+4y+1=0\).
exo7 5208
Soient \((D)\) et \((D')\) deux droites sécantes d’équation respectives ...
exo7 5502
Dans \(E_3\) rapporté à un repère \((O,i,j,k)\), on donne : la droite ...
exo7 5505
Dans \(\Rr^3\) affine, déterminer un repère de la droite \((D)\) ...
exo7 5506
Dans \(\Rr^3\), déterminer l’intersection de \((D)\) ...
exo7 5507
Dans \(\Rr^3\) affine, déterminer le réel \(a\) pour que les droites ...
exo7 5508
Dans \(\Rr^3\), équation du plan \(P\) parallèle à la droite ...
exo7 5509
Dans \(\Rr^3\), soient \((D)\) ...
exo7 5510
Dans \(\Rr^3\), soient \((D)\) ...
exo7 5511
Système d’équations cartésiennes de la droite \((\Delta)\) parallèle à la droite ...
exo7 5512
Trouver toutes les droites sécantes aux quatre droites \((D_1)\) \(x-1=y=0\), ...
exo7 5513
Dans \(\Rr^3\) euclidien rapporté à un repère orthonormé, on donne \(A(2,-2,0)\), ...
exo7 5515
Dans \(\Rr^3\) rapporté à un repère orthonormé, soient \((D)\) ...
exo7 5516
Montrer que les plans \((P_1)\) : \(z-2y=5\), ...
exo7 5517
Angle des plans \(x+2y+2z=3\) et \(x+y=0\).
exo7 5518
Soient \((P_1)~:~4x+4y-7z-1=0\) et \((P_2)~:~8x-4y+z+7=0\). Trouver une équation ...
exo7 5519
Déterminer la perpendiculaire commune aux droites \((D)\) et \((D')\) : ...
exo7 5520
Soient \((D)\) la droite dont un système d’équations cartésiennes est ...
exo7 5522
Déterminer la distance de l’origine \(O\) à la droite \((D)\) dont un système d’é ...
exo7 6158
Dans \(\Rr^2\) on considère l’ensemble \(A\) des points dont une coordonnée au mo ...
exo7 6310
Déterminer le point \(p\) du plan \(\Sigma = \{(x,y,x+y) \; ; \; x,y\in \Rr\}\) q ...
exo7 6392
Notons \(l \subset \Rr^2\) une droite affine de \(\Rr^2\).
exo7 6393
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et ...
exo7 6397
Soient \(f\), \(g\) deux isométries du plan affine euclidien ...
exo7 6402
Montrer que \(3\) points \(x, y\) et \(z\) sont ...
exo7 7050
Soit \(ADC\) un triangle équilatéral et \(B\) le symétrique de ...
exo7 7051
On donne un segment \([AB]\).
exo7 7058
Dans tout l’exercice, on fixe \(R>0\). Dénombrer et construire les cercles de rayon ...
exo7 7066
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral. Pour tout point \(M\) à l’intérieur du tria ...
exo7 7075
Soit \(ABC\) un triangle dont on note \(a\), ...
exo7 7078
On donne deux points \(A\) et \(B\). Soit ...
exo7 7084
On donne deux cercles. Déterminer le nombre de tangentes communes aux deux cercles et tracer ces tangentes.
exo7 7090
Soit \(ABCD\) un parallélogramme, et \(M\) un point sur la diagonale ...
exo7 7093
Soit \(ABCD\) un rectangle et \(M\) un point du plan.
On note ...
exo7 7096
Soient \(f\) et \(g\) deux homothéties de même rapport et de centres distincts. D ...
exo7 7097
Soit \(\mathcal C\) un cercle et \(D\) une droite. Construire une droite parallèl ...
exo7 7098
On donne deux droites parallèles et un point \(A\) entre les deux droites. Dénombrer et tracer les cercles passant ...
exo7 7100
Soient \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 7101
Soient \(C\) et \(C'\) deux cercles sécants de centres ...