Programme de mathématiques PC
c) Développement en série entière au voisinage de 0 d’une fonction d’une variable réelle
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Fonction développable en série entière sur un intervalle $]-r,r[$. | |
Série de Taylor d’une fonction de classe $\mathscr{C}^\infty$. | Formule de Taylor avec reste intégral. |
Unicité du développement en série entière. | |
Développements des fonctions usuelles. | Les étudiants doivent connaître les développements en série entière des fonctions : exponentielle, cosinus, sinus, cosinus et sinus hyperboliques, Arctan, $x\mapsto\ln(1+x)$ et $x\mapsto(1+x)^{\alpha}$. Les étudiants doivent savoir développer une fonction en série entière à l’aide d’une équation différentielle linéaire. L’unicité de la solution d’un problème de Cauchy adapté sera explicitement admise. |
exo7 4607
A l’aide d’un développement en série entière, montrer que ...
exo7 4608
On admet que \(\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} = \frac{\pi^2}6\). Calculer ...
exo7 4609
Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).
exo7 4611
Montrer que la longueur d’une ellipse de demi-axes \(a,b\) est : ...
exo7 4615
Soit \(P\in\C[X]\) ayant pour racines \(z_1,\dots,z_k\) de multiplicités ...
exo7 4618
Soit \(A\) l’ensemble des suites \((a_n)\) de complexes telles que la série entiè ...
exo7 4621
Développer en série entière \(f\) : \(z \mapsto z(1-z)^{-2}\). Montrer que ...
exo7 4654
Soit \(R\) une fraction rationnelle à coefficients complexes, de degré strictement négatif, n’ayant pas de pôle da ...
exo7 5433
Développement asymptotique à la précision \(x^2\) en \(0\) de ...
exo7 5442
Développement limité à l’ordre \(n\) en \(0\) de ...
exo7 5695
Trouver un développement limité à l’ordre \(4\) quand \(n\) tend vers l’infini de ...
exo7 5740
Montrer que ...
exo7 5741
Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.
exo7 5742
Calculer \(\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1+x^2}\;dx\) et ...
exo7 5743
Montrer que pour \(x\) réel de \([0,1[\), ...
exo7 5748
Pour \(x\) réel, on pose ...
exo7 5749
Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...
exo7 5753
Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{4n^2-1}\) pour \(x\) dans ...
exo7 5756
Pour \(x\) réel, on pose \(F(x) =e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\). En développan ...
exo7 5757
On pose \(a_0 = 1\) et \(b_0 = 0\) puis pour tout entier naturel ...
exo7 5761
Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), on pose \(f(x) =\tan x\). ...
exo7 5762
Développer en série entière \(F(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\sin(tx)\;dt\) et en déduire que pour tout réel ...
exo7 5763
Soit \(I_n\) le nombre d’involutions de ...
exo7 7546
Montrer que pour tout \(N\in\Nn\), et tout \(z\in\Delta\), ...
exo7 7547
Montrer que pour tout entier naturel \(k\) et tout \(z\in\Delta\), ...
exo7 7564
Développer si possible en séries entières au voisinage de \(0\) les applications
exo7 7567
Soit \(c\) un point de \(\Cc^-\).
exo7 7568
On définit les nombres de Bernouilli comme les nombres complexes \(B_n\) tels que sur le domaine de convergence ...
exo7 7588
Soit \(\sum_{n\geq 1}a_nz^n\) une série entière convergente (avec un rayon de convergence strictement positif). Dé ...
exo7 7619
Soit \(\sum_{n\geq 1}a_nz^n\) une série entière convergente (avec un rayon de convergence strictement positif). Dé ...
Identification des coefficients d'une série entière
On rappelle que, pour tout réel \(x\) tel que \(|x|<1\), ...
Résolution d'une équation différentielle
Soit l’équation différentielle \((E)\) définie pour \(\alpha>0\) par : ...
Solution d'équation différentielle développable en série entière
Trouver sous forme d’une série entière la solution de l’équation différentielle \((E)\): ...
Série télescopique cachée et équivalent
Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose ...
Séries entières solutions d'équations différentielles
Déterminer les fonctions développables en série entière au voisinage de \(0\) solutions de l’équation différentiel ...
Séries entières solutions d'équations différentielles
Exprimer sous forme d’une série entière la solution de l’équation différentielle \((E)\): ...