Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
b) Développements limités
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Développement limité à l’ordre $n$ d’une fonction en un point. Unicité des coefficients, troncature. | Le développement limité à l’ordre $n$ de $f$ en $a$ peut se ramener à celui de $h\mapsto f(a+h)$ en 0. Signe de $f$ au voisinage de $a$. |
Développement limité en 0 d’une fonction paire, impaire. Caractérisation de la dérivabilité par l’existence d’un développement limité à l’ordre 1. | |
Opérations sur les développements limités : combinaison linéaire, produit, quotient. | On privilégie la factorisation par le terme prépondérant pour prévoir l’ordre d’un développement. Les étudiants doivent savoir déterminer sur des exemples simples le développement limité d’une composée, mais aucun résultat général n’est exigible. |
Primitivation d’un développement limité. Formule de Taylor-Young : pour $f$ de classe $\mathscr{C}^n$, développement limité à l’ordre $n$ en 0 de $h\mapsto f(a+h)$. Développement limité à tout ordre en 0 de exp, sin, cos, sh, ch, $x\mapsto\ln(1+x)$, $x\mapsto\dfrac{1}{1-x}$, $x\mapsto(1+x)^\alpha$, Arctan. Développement limité à l’ordre 3 en 0 de tan. | |
Application des développements limités à l’étude locale d’une fonction. Condition nécessaire, condition suffisante à l’ordre 2 pour un extremum local en un point intérieur. | Calculs d’équivalents et de limites, position relative d’une courbe et de sa tangente, détermination d’asymptotes. |
exo7 4592
Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction ...
exo7 5091
Etudier \(f~:~x\mapsto\ln(\ch x)-x\).
exo7 5426
Etudier l’existence et la valeur éventuelle des limites suivantes
exo7 5427
Déterminer les développements limités à l’ordre demandé au voisinage des points indiqués :
exo7 5428
Soit \(0<a<b\). Etude complète de la fonction ...
exo7 5429
Etude au voisinage de \(+\infty\) de \(\sqrt{x^2-3}-\sqrt[3]{8x^3+7x^2+1}\).
exo7 5430
Soit \(f(x)=\frac{x}{1-x^2}\). Calculer \(f^{(n)}(0)\) en moins de ...
exo7 5431
Equivalent simple en \(+\infty\) et \(-\infty\) de ...
exo7 5432
Développement asymptotique à la précision \(\frac{1}{n^3}\) de ...
exo7 5433
Développement asymptotique à la précision \(x^2\) en \(0\) de ...
exo7 5434
Soient \(a>0\) et \(b>0\). Pour ...
exo7 5435
Soit \(u_0\in]0,\frac{\pi}{2}]\). Pour \(n\in\Nn\), on pose ...
exo7 5436
Soit \(u\) la suite définie par la donnée de son premier terme \(u_0>0\) et la ...
exo7 5437
Montrer que l’équation \(\tan x=x\) a une unique solution dans l’intervalle ...
exo7 5439
Soit \(f(x)=1+x+x^2+x^3\sin\frac{1}{x^2}\) si \(x\neq0\) et ...
exo7 5440
Étude au voisinage de \(0\) de \(f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{\Arcsin x}\) (existenc ...
exo7 5441
La fonction \(x\mapsto\Arccos x\) admet-elle en \(1\) (à gauche) un développement ...
exo7 5442
Développement limité à l’ordre \(n\) en \(0\) de ...
exo7 5457
Partie principale quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de ...
exo7 5458
Montrer que \(\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})\).
exo7 5568
Soit \(f(x) =\ln(1+x)\) pour \(x\) réel positif. Soient ...
exo7 5695
Trouver un développement limité à l’ordre \(4\) quand \(n\) tend vers l’infini de ...
exo7 5707
Développement limité à l’ordre \(4\) de \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\) q ...
exo7 5760
Soit \((a_n)_{n\in\Nn}\) une suite à valeurs dans \(\{-1,1\}\). Pour ...
exo7 5761
Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), on pose \(f(x) =\tan x\). ...
exo7 5852
Donner un développement à la précision \(\frac{1}{n^2}\) de la \(n\)-ième racine ...
exo7 603
Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...
exo7 625
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 6301
Soit \(f:\Rr \to \Rr\) une application \(C^\infty\) et soit ...
exo7 6303
Montrer que si \(x = 1,32 \pm 10^{-2}\) et \(y = 0,45 \pm 10^{-2}\), alors ...
exo7 6317
On considère les deux équations différentielles du second ordre ...
exo7 6837
Soit \(f: \ ]0,+\infty[\ \times \ ]0,+\infty[ \ \times \Rr \to \Rr\) la fonction ...
exo7 6888
Donner le développement limité en \(0\) des fonctions :
exo7 7564
Développer si possible en séries entières au voisinage de \(0\) les applications
exo7 795
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{1+t^{n}}dt.\] Éventuellemment, en donner ...
Vrai ou faux ?
Répondre par vrai ou faux. Aucune justification n’est demandée mais une mauvaise réponse entraîne une pénalité de points.
Étude d'une série numérique
Soit \(\alpha\) un nombre réel et \((u_n)\) la suite définie pour tout entier nat ...
Étude de la nature d'une série
Prouver qu’un équivalent de \(e^{x^2}-\cos(x)\) au voisinage de \(0\) est ...