Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
c) Dérivées partielles et composées
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivée selon un vecteur. | Expression à l’aide du gradient $\langle\nabla f(x_0,y_0),u\rangle$. |
Règle de la chaîne : les fonctions considérées étant de classe $\mathscr{C}^1$, la fonction $t\mapsto f(x(t),y(t))$ est de classe $\mathscr{C}^1$ et $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(f(x(t),y(t))\big)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t))x'(t)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x(t),y(t))y'(t)$ | Interprétation comme dérivée de $f$ le long d’un arc $\gamma$ donné par $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ et expression à l’aide du gradient $(f\circ\gamma)'(t)=\langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle$ où $\gamma'(t)$ est défini par $(x'(t),y'(t))$. Le gradient de $f$ est orthogonal aux lignes de niveau de $f$. |
Sous les hypothèses appropriées, dérivées partielles de $(u,v)\mapsto f(\varphi(u,v),\psi(u,v))$. |
Calcul de dérivées partielles
On pose \(f: \R^2 \to \R\) définie pour tout \((x,y) \in \R^2\) par : ...
Calcul de dérivées partielles
Composition de fonctions
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions d’une variable, de classe ...
Dérivée partielle via la règle de dérivation composée
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
Dérivées partielles
Soit \(u \colon t \mapsto u(t)\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
Dérivées partielles et règle des chaînes
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Dérivées partielles et règle des chaînes
On considère une boîte dont la longueur \(\ell\), la largeur \(w\) et la hauteur ...
Dérivées partielles, composée et structure d’une fonction
Soit \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) une fonction de classe \(C^1\) telle que ...
Etude d'un fonction de deux variables
On considère trois fonctions de deux variables \(f\), \(g\) et ...
exo7 1800
Soit la fonction \(f \colon \R^{2} \longrightarrow \R\) définie par ...
exo7 1801
Soit \(f : \R \rightarrow \R\) dérivable. Calculer les dérivées partielles de : ...
exo7 1808
Calculer la dérivée de la fonction \(F(x,y)=e^{x^2+y^2}\) au point \(P(1,0)\) sui ...
exo7 1810
On définit la fonction ...
exo7 1815
Etudier la différentiabilité en \((0,0)\) des fonctions définies par
exo7 1819
Calculer la dérivée de la fonction \(F(x,y)=x^2-xy-2y^2\) au point \(P(1,2)\) dan ...
exo7 1850
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr\) dérivable. On pose ...
exo7 1851
Soit \(f : \Rr^{2} \rightarrow \Rr\) une fonction \(C^{2}\). On pose ...
exo7 1852
On cherche les fonctions \(f:\R^2\rightarrow \R\) telles que: ...
exo7 1853
Soient \(f~:\,\R^2 \to \R\) différentiable et \(g~:\,\R \to \R\) définie par ...
exo7 1854
Soient \(U=\{(x,y)\in \R^2,\, x>0\}\) et ...
exo7 1855
Soit \(D=\{(x,y)\in \R^2,\, x>0\}\). On cherche les fonctions ...
exo7 1856
Déterminer les fonctions \(f\in {\cal C}^1(\R^2,\R)\) vérifiant ...
exo7 1862
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) une application \(C^{1 }\) sur un ouvert co ...
exo7 2622
Déterminer, pour chacune des fonctions suivantes, le domaine de définition \(D_f\). Pour chacune des fonctions, ca ...
exo7 2623
Soit \(f\) la fonction sur \(\R^2\) définie par ...
exo7 2624
Soit \(f:\R^2\rightarrow \R\) la fonction définie par \(f(x,y)=(x^2+y^2)^x\) pour ...
exo7 2626
Soit \(f\colon\R^3 \rightarrow \R\) une fonction de classe \(C^1\) et soit ...
exo7 2627
On considère les fonctions \(f\colon \R^2\longrightarrow \R^3\) et ...
exo7 2638
Calculer les matrices hessiennes des fonctions \(f\) définies par les expressions suivantes sur leur domaine de dé ...
exo7 2650
Soit \(f:\R^2\to\R\) définie par ...
exo7 4130
Soit \(f\) une application minorée et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4136
Calculer les dérivées partielles des fonctions :
exo7 4138
Soit \(f(x,y) = \arcsin\left(\frac{1+xy}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\right)\) et ...
exo7 4140
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4141
Soient \({u,v,f,g} : {\R^2} \mapsto \R\) des fonctions de classe ...
exo7 4143
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\), et ...
exo7 4144
Soient \(f : {\R^3} \mapsto \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\), ...
exo7 4145
Soit \(f\) une application de classe \(\mathcal{C}^2\) de ...
exo7 4146
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction \(\pi\)-périodique de classe ...
exo7 4147
Soit \(f(x,y) = \frac{x^3y}{x^2+y^2}\) si \((x,y)\ne 0\) et ...
exo7 4148
Trouver \({f_k} : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^k\) telle que les ...
exo7 4150
Soit \(\varphi : {\R^2} \to {\R^2}\) une application affine.
exo7 4158
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Démontrer que : ...
exo7 4173
Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^2\) contenant ...
exo7 4180
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4202
Déterminer les applications \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) de ...
exo7 4204
Soit \(U\) l’ouvert de \({\R^2}\) : ...
exo7 4206
Soit \(f : U \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) vérifiant : ...
exo7 4211
Trouver les applications \(f : {(\R^{+*})^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) ...
exo7 4212
Soit \(g : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...