Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
Nombres complexes
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L’objectif de cette section, que l’on illustrera par de nombreuses figures, est de donner une solide pratique des nombres complexes, à travers les aspects suivants :
- l’étude algébrique de l’ensemble $\mathbb{C}$ et la notion d’équation algébrique ;
- l’interprétation géométrique des nombres complexes et l’utilisation des nombres complexes en géométrie plane ;
- l’exponentielle complexe et ses applications à la trigonométrie.
- a) Nombres complexes 58
- b) Conjugaison et module 88
- c) Nombres complexes de module 1 et trigonométrie 82
- d) Forme trigonométrique 55
- e) Équations algébriques 71
- f) Racines $n$-ièmes 102
- g) Exponentielle complexe 29
- h) Interprétation géométrique des nombres complexes 62
exo7 5124
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du pla ...
exo7 5125
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(z^4-(5-14i)z^2-2(5i+12)=0\).
exo7 5126
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \((z^2+1)^n-(z-1)^{2n}=0\).
exo7 5127
Déterminer les complexes \(z\) tels que \(z\), ...
exo7 5128
On note \(U\) l’ensemble des nombres complexes de module \(1\). Montrer que :
...exo7 5129
Forme trigonométrique de \(\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}\) et de ...
exo7 5130
Calculer \((1+i\sqrt{3})^9\).
exo7 5131
Déterminer les racines quatrièmes de \(i\) et les racines sixièmes de ...
exo7 5132
Montrer que les solutions de l’équation \(1+z+z^2+...+z^{n-1}-nz^n=0\) sont de module inférieur ou égal à ...
exo7 5133
Pour \(z\in\Cc\setminus\{1\}\), on pose \(Z=\frac{1+z}{1-z}\). Déterminer et cons ...
exo7 5134
Nature et éléments caractéristiques de la transformation d’expression complexe :
exo7 5135
On considère l’équation \((E)~:~(z-1)^n-(z+1)^n=0\) où \(n\) est un entier nature ...
exo7 5136
Pour \(z\in\Cc\), on pose \(\ch z=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z})\), ...
exo7 5137
La difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable.
exo7 5148
On veut montrer de manière élémentaire (c’est-à-dire en se passant du logarithme népérien et en ne travaillant qu’avec les deux opérations ...
exo7 5189
Soit \(f\in\mathcal{L}(\Rr^2)\). Pour \((x,y)\in\Rr^2\), on pose ...
exo7 5195
\((ABC)\) est un vrai triangle.
exo7 52
Résoudre, dans \(\Cc\), l’équation \((z+1)^n=(z-1)^n\).
exo7 5207
Nature et éléments caractéristiques de la transformation d’expression complexe :
exo7 5274
Soit \(\omega=e^{2i\pi/n}\), \((n\geq 2)\). Soit ...
exo7 5295
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(2^{n+1}\) divise ...
exo7 53
Résoudre, dans \(\Cc\), l’équation \(z^n=\overline{z}\) où ...
exo7 5308
Soit \(u_n=10...01_2\).(\(n\) chiffres égaux à ...
exo7 5313
Calculer \(a_n=\prod_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{n}\), ...
exo7 5314
On pose \(\omega_k=e^{2ik\pi/n}\) et \(Q=1+2X+...+nX^{n-1}\). Calculer ...
exo7 5315
Montrer que \(\sum_{k=0}^{n-1}\cotan^2(\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n})= n(n-1)\). (Indication. Poser ...
exo7 5316
Soient \(p\) un entier naturel et \(a\) un réel. Donner le développement de ...
exo7 5318
Pour quelles valeurs de l’entier naturel \(n\) le polynôme \((X+1)^n-X^n-1\) est- ...
exo7 5336
Décomposer en éléments simples dans \(C(X)\) les fractions rationnelles suivantes
...
exo7 5337
Soit \(U_n\) l’ensemble des racines \(n\)-ièmes de l’unité dans ...
exo7 5342
Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans \(\Rr[X]\) le polynôme ...
exo7 5343
Soit \(P=\) où \(n\) est un entier naturel non ...
exo7 5344
Résoudre dans \(\Cc\) les équations suivantes :
exo7 5345
Former une équation du sixième degré dont les racines sont les \(\sin\frac{k\pi}{7}\) où ...
exo7 5346
Soit \(P\) un polynôme à coefficients complexes de degré \(4\).
Montrer qu ...
exo7 5347
Résoudre dans \(\Cc^3\) le système ...
exo7 5348
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). Pour ...
exo7 5349
Déterminer \(\lambda\) et \(\mu\) complexes tels que les zéros de ...
exo7 5352
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(z^4-21z+8=0\) sachant qu’il existe deux des so ...
exo7 54
Résoudre les équations suivantes : ...
exo7 5466
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
...
exo7 5479
Résoudre sur \(\Rr\) les équations différentielles :
...
exo7 55
Résoudre \(z^6 +27 =0\). (\(z \in \Cc\))
exo7 5544
Déterminer l’image du cercle trigonométrique par la fonction ...
exo7 56
Soient \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) trois nombres c ...
exo7 5613
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et ...
exo7 5646
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées réelles de format ...
exo7 5664
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 57
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(27 (z-1)^6 + (z + 1)^6 = 0\).
exo7 5728
Soit \(f\) une application continue sur \([0,1]\) à valeurs dans ...