Texte officiel du programme
L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et de les exploiter pour la résolution de problèmes portant sur les équations algébriques et les fonctions numériques.
On présente la décomposition en éléments simples des fonctions rationnelles, uniquement dans des situations simples. L’objectif est de présenter aux étudiants un outil qui leur permette de mener à bien des calculs d’intégration, de dérivation, de somme, etc.
Le programme se limite aux polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ où $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Ensemble des polynômes à une indéterminée 94
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 81
- f) Décomposition en éléments simples de certaines fonctions rationnelles 70
exo7 427
Trouver le polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à \(3\) tel que : ...
exo7 4272
...
exo7 429
Soit \((P_0, P_1, \ldots, P_n)\) une famille de polynômes de \(\mathbb{K}[X]\) te ...
exo7 431
Résoudre l’équation d’inconnue \(P\in \Cc[X]:P(X+1)P(X)=-P(X^{2}).\)
exo7 432
Soit \((P,Q)\in \Rr_{n}[X]^{2}\) tels que ...
exo7 433
Soient \(W_{n}=(X^{2}-1)^{n}, \ L_{n}=\frac{1}{2^{n}n!}W_{n}^{(n)}.\)
exo7 434
Montrer que si \(n\geq 3,\) l’équation \(x^{n}+y^{n}=z^{n}\) n’a pas de solution ...
exo7 436
Lemme : Soit \(P\in \Cc[X]\) non constant, \(z_{0}\in \Cc,\) montrer que ...
exo7 437
Soit \(n\in \Nn^{*},\) et \(P(X)=(X+1)^{n}-(X-1)^{n}.\) Quel est le degré de ...
exo7 438
Soit \(P\in {\Rr}[X]\) un polynôme dont tous les zéros sont réels et distincts, montrer que ...
exo7 439
Soit \(K\subseteq\Cc\) un corps pour les lois usuelles sur \(\Cc\) et ...
exo7 440
Soient \(m,n\in [1,+\infty[\), \(d=\mathrm{pgcd} (m,n)\) et ...
exo7 442
Soit \(P=X^4-5X^3+9X^2-15X+18\in\Cc[X]\). Déterminer toutes les racines complexes de ...
exo7 443
Décomposer les fractions rationnelles suivantes : \[\frac{3}{X^3 + 1} \text{ sur } \Cc \text{ puis sur } \Rr\] ...
exo7 444
Décomposer \(\frac{X^3-3X^2+X-4}{X-1}\) en éléments simples sur \(\mathbb{R}\). ...
exo7 445
Décomposition en éléments simples \(\displaystyle\Phi={2x^4+x^3+3x^2-6x+1\over2x^3-x^2}.\)
exo7 447
Décomposition en éléments simples \(\displaystyle\Phi={4x^6-2x^5+11x^4-x^3+11x^2+2x+3\over x(x^2+1)^3}.\)
exo7 448
Soient \(a\) et \(b\) deux réels distincts et ...
exo7 449
Donner une CNS sur \(f\in \Cc(X)\) pour qu’il existe \(g\in \Cc(X)\) tel que ...
exo7 450
On appelle valuation une application \(v :\Cc(X)\rightarrow {\Zz}\cup \{\infty \}\) telle que : ...
exo7 4516
Trouver une suite de polynômes \((P_n)\) convergeant simplement (resp. uniformément) vers la fonction nulle sur ...
exo7 4522
Soit \(p \in \N\) fixé et \((P_n)\) une suite de fonctions polynomiales de degrés ...
exo7 4544
Décomposer en éléments simples sur \(\C\) la fractions rationnelle : ...
exo7 4562
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 457
Soit \(p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i\). On suppose que tous les \(a_i\) son ...
exo7 4586
Rayon et somme de \(\sum P(n)x^n\) où \(P\) est un polynôme de degré ...
exo7 4598
En utilisant la relation : \(\tan' = 1 + \tan^2\), exprimer \(\tan^{(n)}\) en ...
exo7 4615
Soit \(P\in\C[X]\) ayant pour racines \(z_1,\dots,z_k\) de multiplicités ...
exo7 480
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\), \(f(x) = x^3-3x\). Tracer les graphes des fonct ...
exo7 4801
Soit \(P\in\C[X]\) et \(U\) un ouvert de \(\C\) ...
exo7 490
Résoudre l’équation \(\sqrt[4]{41+x}+\sqrt[4]{41-x}=4\), \(x\) étant un réel posi ...
exo7 4952
Pour \(\lambda \in \R\) on considère la droite \(D_\lambda\) d’équation cartésien ...
exo7 5073
On veut calculer \(S=\tan9^\circ-\tan27^\circ-\tan63^\circ+\tan81^\circ\).
exo7 5096
Résoudre dans \(\Rr\) les équations suivantes :
exo7 5108
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\Nn^*\), ...
exo7 5143
Calculer les sommes suivantes :
exo7 5150
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), \(a_2\),..., ...
exo7 5186
Soit \(E=\Rr_n[X]\), le \(\Rr\)-espace vectoriel des polynômes à coefficients rée ...
exo7 5308
Soit \(u_n=10...01_2\).(\(n\) chiffres égaux à ...
exo7 5313
Calculer \(a_n=\prod_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{n}\), ...
exo7 5314
On pose \(\omega_k=e^{2ik\pi/n}\) et \(Q=1+2X+...+nX^{n-1}\). Calculer ...
exo7 5315
Montrer que \(\sum_{k=0}^{n-1}\cotan^2(\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n})= n(n-1)\). (Indication. Poser ...
exo7 5316
Soient \(p\) un entier naturel et \(a\) un réel. Donner le développement de ...
exo7 5317
Déterminer le PGCD de \(X^6-7X^4+8X^3-7X+7\) et \(3X^5-7X^3+3X^2-7\).
exo7 5318
Pour quelles valeurs de l’entier naturel \(n\) le polynôme \((X+1)^n-X^n-1\) est- ...
exo7 5319
Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels tel que ...
exo7 5320
Soit \(P\) un polynôme différent de \(X\). Montrer que ...
exo7 5321
Soit \(P\) un polynôme à coefficients entiers relatifs de degré supérieur ou égal à ...
exo7 5322
Soit \(E\) la partie de \(\Cc[X]\) formée des polynômes ...
exo7 5323
Division euclidienne de \(P=\sin aX^n-\sin(na)X+\sin((n-1)a)\) par ...