Texte officiel du programme
Dans toute cette partie, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- A - Compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices 191
- B - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 424
exo7 3780
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique telle qu’il existe \(k \in \N^*\) tel ...
exo7 3781
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique de valeurs propres ...
exo7 3783
Soit \((A_i)\) une famille de matrices \(n\times n\) réelles symétriques commutan ...
exo7 3784
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques, \(B\) définie positive. Montrer ...
exo7 3790
Soient \(h \in \mathcal{L}(E)\) autoadjoint, \(\vec x_0 \in E\) unitaire, ...
exo7 3792
Soit \(f\in\mathcal{L}(E)\). Montrer que ...
exo7 3803
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire défini par ...
exo7 3805
Soit \(A\) matrice réelle ; montrer que \(A\) est diagonalisable ssi il existe ...
exo7 3806
Soient \(A,B\) des matrices de \(\mathcal{M}_n(\R)\) symétriques et ...
exo7 3810
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) de valeurs propres ...
exo7 3815
Peut-on définir sur \(\R^2\) une structure euclidienne telle que l’endomorphisme ...
exo7 3816
Soit \(M\in\mathcal{M}_n(\C)\) et \(\lambda\in\mathrm{spec}(M)\). Montrer que ...
exo7 3817
Montrer que toute matrice symétrique réelle positive a ses coefficients diagonaux positifs. Montrer que si l’un des coefficients diagonaux ...
exo7 3819
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^2 = -I_n\).
exo7 3821
Soient \(n \in \N^*\), \(S_n(\R)\) l’espace des matrices ...
exo7 3952
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^n\), ...
exo7 4071
Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants :
exo7 4072
Soit \(A\) un polynôme à coefficients réels de degré 2 donné. Au polynôme \(P\) d ...
exo7 4412
Résoudre dans \(\mathcal{M}_2(\C)\) : ...
exo7 4584
Soit ...
exo7 4763
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), on pose \(\|A\| = \sqrt{\mathrm{tr}({}^tAA)}\). ...
exo7 4787
On considère l’espace \(\mathcal{M}_n(\C)\) muni d’une norme quelconque.
exo7 4821
Soit \(E\) un espace vectoriel complexe de dimension finie. On considère un endomorphisme ...
exo7 4933
Soit \({\cal S}\) la surface d’équation ...
exo7 4940
On considère un plan \(P\) et une droite \(D\) sécants. Déterminer le lieu des po ...
exo7 5271
Soit \(f\) qui, à \(P\in\Rr_{2n}[X]\) associe ...
exo7 5273
Calculs par blocs.
exo7 5275
Soit ...
exo7 5364
Calculer :
exo7 5368
Soit \((A,B)\in(M_n(\Rr))^2\) et ...
exo7 5482
Pour \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), ...
exo7 5490
Soit \(M=\left( \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right)\) avec ...
exo7 5573
Soient \(a_0\),..., \(a_n\) \(n+1\) nombres comp ...
exo7 5577
Soient \(F_1\), \(F_2\),..., ...
exo7 5586
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 5590
Soit \(E\) un espace de dimension finie. Montrer que la trace d’un projecteur est s ...
exo7 5591
Soient \(p_1\),..., \(p_n\) ...
exo7 5592
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace de dimension finie ...
exo7 5619
Soit \(f\) une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que ...
exo7 5622
Soient \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\) et \(B\) l’élément de ...
exo7 5623
Soit \(H\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) tel que ...
exo7 5624
Soit \(M\in\mathcal{M}_3(\Rr)\). Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
...exo7 5626
Soient ...
exo7 5629
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(E=\Cc_n[X]\). Pour ...
exo7 5636
On définit par blocs une matrice \(A\) par ...
exo7 5637
Soient \(x_0\),..., \(x_{n-1}\) \(n\) nombres co ...
exo7 5638
Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...
exo7 5644
Soient \(a_0\),...,\(a_{n-1}\) \(n\) nombres com ...
exo7 5647
Soient \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 5649
Soient \(a_0\), ... , \(a_{n-1}\) ...