Programme de mathématiques PSI
B - Endomorphismes d’un espace euclidien
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Cette section vise les objectifs suivants :
- étudier les isométries vectorielles et matrices orthogonales, et les décrire en dimension deux et trois en insistant sur les représentations géométriques ;
- approfondir la thématique de réduction des endomorphismes dans le cadre euclidien en énonçant les formes géométrique et matricielle du théorème spectral ;
- introduire la notion d’endomorphisme autoadjoint positif, qui trouvera notamment son application au calcul différentiel d’ordre 2.
La notion d’adjoint est hors programme.
- a) Isométries vectorielles d’un espace euclidien 109
- b) Matrices orthogonales 83
- c) Espace euclidien orienté de dimension 2 ou 3 34
- d) Isométries vectorielles d’un plan euclidien 53
- e) Isométries d’un espace euclidien de dimension 3 53
- f) Réduction des endomorphismes autoadjoints et des matrices symétriques réelles 52
exo7 3707
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, \({\cal B}\) une ...
exo7 3708
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3709
Compléter la matrice ...
exo7 3710
Pour tout triplet \((a,b,c)\) de réels on pose ...
exo7 3711
Reconnaître les endomorphismes de \(\R^3\) définis par les expressions analytiques dans la base canonique :
exo7 3712
Déterminer la matrice de la rotation \(\cal R\) de \(\R^3\) dans une base orthono ...
exo7 3729
Soit \(S\) une matrice carrée d’ordre \(n\), à coefficients réels, symétrique déf ...
exo7 3732
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...
exo7 3733
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3734
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3735
Soit \(\vec v \in E\setminus\{\vec0\}\) et \(\lambda \in \R\). On pose pour ...
exo7 3736
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3737
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3738
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3739
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3741
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3742
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3743
Quels sont-ils ?
exo7 3744
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3745
Soit \(M \in {\cal O}(n)\).
exo7 3746
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3747
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3748
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3749
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\).
exo7 3750
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3751
\(E = \mathcal{M}_n(\R)\) muni du produit scalaire : ...
exo7 3752
Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) égales à leur comatrice ?
exo7 3753
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que : ...
exo7 3754
Soit \(P \in {\cal O}(n)\). A l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer que : ...
exo7 3757
Soit \(G\) un sous groupe compact de \(GL_n(\C)\). Si ...
exo7 3758
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 3760
\({\cal O}_n(\Q)\) est-il dense dans \({\cal O}_n(\R)\) ?
exo7 3761
On considère l’endomorphisme de \(\R^3\) de matrice dans la base canonique : ...
exo7 3764
Soit \({\cal B} = (\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) une base non orthonormée de \(E\), ...
exo7 3765
Soit \(u : E \to E\) telle que : ...
exo7 3766
Diagonaliser dans une base orthonormée :
exo7 3767
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\) et \(M = (a_ia_j) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montre ...
exo7 3768
Soit \(\varphi\) l’endomorphisme de matrice dans la base canonique de \(\R^4\) : ...
exo7 3769
Soit \(E = \R_n[x]\). On pose pour ...
exo7 3770
Pour \(P,Q \in \R_n[X]\) on pose ...
exo7 3771
Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint. Montrer que ...
exo7 3772
Soient \(u,v \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoints. Montrer que \(u\circ v\) est aut ...
exo7 3773
Soient \(p,q\) deux projecteurs orthogonaux.
exo7 3774
Quels sont les endomorphismes de \(E\) à la fois auto-adjoints et orthogonaux ?
exo7 3775
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) antisymétrique et \(f\) l’endomorphisme de ...
exo7 3781
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique de valeurs propres ...
exo7 3782
Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint tel que \(\mathrm{tr}(u) = 0\).
exo7 3783
Soit \((A_i)\) une famille de matrices \(n\times n\) réelles symétriques commutan ...
exo7 3785
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques positives. Montrer que ...
exo7 3787
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\). Montrer qu’il existe une base orthonormée ...