Programme de mathématiques PSI
B - Endomorphismes d’un espace euclidien
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
Cette section vise les objectifs suivants :
- étudier les isométries vectorielles et matrices orthogonales, et les décrire en dimension deux et trois en insistant sur les représentations géométriques ;
- approfondir la thématique de réduction des endomorphismes dans le cadre euclidien en énonçant les formes géométrique et matricielle du théorème spectral ;
- introduire la notion d’endomorphisme autoadjoint positif, qui trouvera notamment son application au calcul différentiel d’ordre 2.
La notion d’adjoint est hors programme.
- a) Isométries vectorielles d’un espace euclidien 109
- b) Matrices orthogonales 83
- c) Espace euclidien orienté de dimension 2 ou 3 34
- d) Isométries vectorielles d’un plan euclidien 53
- e) Isométries d’un espace euclidien de dimension 3 53
- f) Réduction des endomorphismes autoadjoints et des matrices symétriques réelles 52
exo7 3788
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint et ...
exo7 3789
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques, \(\lambda,\lambda'\) leurs ...
exo7 3790
Soient \(h \in \mathcal{L}(E)\) autoadjoint, \(\vec x_0 \in E\) unitaire, ...
exo7 3792
Soit \(f\in\mathcal{L}(E)\). Montrer que ...
exo7 3793
Soit \(f\in\mathcal{L}(E)\).
exo7 3798
Soit \(A\in M_n(\R)\) telle que \(A^3={}^t\!A A\). ...
exo7 3799
Soit \(E\) un espace euclidien, \(u\) et \(v\) d ...
exo7 3800
Soit \(E\) un espace euclidien et \(s\) une symétrie de ...
exo7 3801
On note \(P\) l’ensemble des fonctions \(f\) polynomiales par morceaux, continues ...
exo7 3802
Que peut-on dire de l’adjoint d’un projecteur orthogonal d’un espace euclidien ? Réciproque ?
exo7 3803
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire défini par ...
exo7 3804
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et ...
exo7 3810
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) de valeurs propres ...
exo7 3812
Soit \(S\), matrice orthogonale d’ordre impair, de coefficients fonction de \(t\) ...
exo7 3813
Déterminer \(a\), \(b\), \(c\), réels non nuls p ...
exo7 3815
Peut-on définir sur \(\R^2\) une structure euclidienne telle que l’endomorphisme ...
exo7 3817
Montrer que toute matrice symétrique réelle positive a ses coefficients diagonaux positifs. Montrer que si l’un des coefficients diagonaux ...
exo7 3818
Pour \(M\in GL_n(\R)\) montrer l’existence de deux matrices orthogonales \(U\) et ...
exo7 3819
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^2 = -I_n\).
exo7 3822
Déterminer \(\{M \in {\cal{M}}_n(\R) \text{ tq } M(^tMM)^2=I_n\}\).
exo7 3838
Soit \(E\) un espace euclidien, \((\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) une base de ...
exo7 4854
Soient \({\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) de classe ...
exo7 4940
On considère un plan \(P\) et une droite \(D\) sécants. Déterminer le lieu des po ...
exo7 4944
Soient \({\cal T}\) un torseur et \({\cal P}\) un plan. Déterminer le lieu des po ...
exo7 4946
Soit \({\cal R} = (O,\vec i,\vec j,\vec k)\) un repère orthonormé direct de l’espace. On considère les glisseurs : ...
exo7 4947
Soit \(ABCD\) un tétraèdre non aplati de l’espace. Pour \(X,Y \in \{A,B,C,D\}\) d ...
exo7 4951
Soit \({\cal C} = {\cal C}(O,r)\) un cercle du plan et \(f\) une application affi ...
exo7 4954
Trois figures \(F_1,F_2,F_3\) se déduisent l’une de l’autre par rotations. Montrer qu’il existe une figure ...
exo7 4958
Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points distinct ...
exo7 4965
Soit \(ABCD\) un tétraèdre dont les quatre faces ont même aire. Montrer que les côtés non coplanaires ont deux à d ...
exo7 4970
Dans un rond on donne les plans \(P : x+y+z = 1\) et \(Q : 2x-y+z=1\). C ...
exo7 4976
Soient \(f,g\) deux vissages d’angles \(\ne \pi\). Trouver une CNS pour que ...
exo7 4977
Soient \(D_1,D_2,D_3\), trois droites, et \(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\) les ...
exo7 4978
Soit \(ABCD\) un tétraèdre régulier, et \(d_{AB},d_{AC},d_{AD}\) les ...
exo7 4979
Soient \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles tels que ...
exo7 4980
Déterminer toutes les isométries
exo7 5487
Soit \(a\) un vecteur non nul de l’espce euclidien \(\Rr^3\). On définit ...
exo7 5488
Matrice de la projection orthogonale sur la droite d’équations \(3x=6y=2z\) dans la base canonique orthonormée de ...
exo7 5489
\(E=\Rr^3\) euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe ...
exo7 5490
Soit \(M=\left( \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right)\) avec ...
exo7 5491
\(\mathcal{B}\) est une base orthonormée directe de \(\Rr^3\) donnée. Montrer que ...
exo7 5493
Montrer que \(u\wedge v|w\wedge s=(u|w)(v|s)-(u|s)(v|w)\) et ...
exo7 5498
Soit \(r\) la rotation de \(\Rr^3\), euclidien orienté, dont l’axe est orienté pa ...
exo7 5503
Matrice dans la base canonique orthonormée directe de la rotation vectorielle de \(\Rr^3\) autour de ...
exo7 5504
Dans \(\Rr^3\), espace vectoriel euclidien orienté rapporté à la base orthonormée directe ...
exo7 5514
Soit \(M(x,y,z)\) un point de \(\Rr^3\) rapporté à un repère orthonormé. Détermin ...
exo7 5515
Dans \(\Rr^3\) rapporté à un repère orthonormé, soient \((D)\) ...
exo7 5519
Déterminer la perpendiculaire commune aux droites \((D)\) et \((D')\) : ...
exo7 5522
Déterminer la distance de l’origine \(O\) à la droite \((D)\) dont un système d’é ...
exo7 5616
Résoudre dans \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) l’équation \(M=\text{com}M\) ( ...