Programme de mathématiques PSI
c) Diagonalisation en dimension finie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est dit diagonalisable s’il existe une base dans laquelle sa matrice est diagonale. | Une telle base est constituée de vecteurs propres. |
Une matrice carrée est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale. | Interprétation en termes d’endomorphisme. Application au calcul des puissances d’une matrice diagonalisable, à des exemples de systèmes différentiels à coefficients constants. Dans la pratique des cas numériques, on se limite à $n = 2$ ou $n = 3$. |
Un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ est diagonalisable si et seulement si la somme de ses sous-espaces propres est égale à $E$. | Exemple des projecteurs et des symétries. |
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de l’espace. | Traduction matricielle. |
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{K}$ et si, pour toute valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à sa multiplicité. | Traduction matricielle. |
Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension $n$ admettant $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable. | Polynôme caractéristique scindé à racines simples. Traduction matricielle. |
exo7 1661
Étudier le caractère diagonalisable des matrices suivantes et le cas échéant, les diagonaliser :
exo7 1662
Soient \(A\in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(\text{tr}(A)\not= 0\) et ...
exo7 1664
Étudier le caractère diagonalisable des matrices suivantes
exo7 1665
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 1667
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 1668
On considère la matrice par blocs ...
exo7 1669
On désigne par \(E\) l’espace vectoriel des polynôme s à coefficients réels, et par ...
exo7 1670
Pour tout élément non nul \(a=(a_1, a_2, \ldots ,a_n)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on ...
exo7 1671
Soit \(B\) une matrice diagonalisable de ...
exo7 1672
On considère l’endomorphisme \(a\) de \(E=\Rr^2\) dont la matrice représentative ...
exo7 1673
Soit \(K\) un corps commutatif quelconque, et soit \(F=\mathcal{M}_n(K)\) l’espac ...
exo7 1677
Soient \(f\in\mathcal{L}(E)\) et \(a\in E.\)
exo7 1679
Montrer que ...
exo7 1681
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) et soient \(\lambda_1,...,\lambda_n\) ses valeurs ...
exo7 1691
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1692
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(4\). Soit: ...
exo7 1695
Soit \(\rho\) l’application de \(\R_4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1701
Soient \(n\in\Nn\setminus\left\{0\right\}\) et \(f\) l’endomorphisme de l’espace ...
exo7 1704
Résoudre les systèmes différentiels suivants ...
exo7 1706
Résoudre le système différentiel suivant : ...
exo7 1707
Réduire la matrice \[A= \begin{pmatrix} 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1&-3& 4 \end{pmatrix}\] ...
exo7 1708
Déterminer toutes les suites \((u_{n})_{n\in\N}\) à valeur complexes telles que : ...
exo7 1709
Etant donnés quatre nombres réels \((u_{0},v_{0},w_{0},x_{0})\), on définit quatre nouveaux nombres ...
exo7 1710
Donner toutes les suites \((x_{n})\), \((y_{n})\) et ...
exo7 1712
On considère la matrice ...
exo7 1713
Résoudre le système différentiel \(X'=AX\) où \(A\) est la matrice : ...
exo7 1714
Soit la matrice ...
exo7 1716
Calculer les puissances et l’exponentielle (\(e^M=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!}\)) des matrices suivantes : ...
exo7 1717
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie \(n\). Soit ...
exo7 1720
Soit \(a\in\mathcal{L}(E)\) un endomorphisme d’un \(K\)-espace vectoriel de dimen ...
exo7 1724
Soient \((x_n)_{n \in \N } ,\) \((y_n)_{n \in \N }\) et ...
exo7 1726
Etudier les solutions (suivant \(A\)) dans \(M_2 (\C )\) de l’équation ...
exo7 1727
Soit \(A\in M_n(\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1728
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient ...
exo7 2467
Donner les valeurs propres, vecteurs propres et matrice de diagonalisation éventuelle des matrices suivantes dans ...
exo7 2468
Soit \(\mathbb K\) le corps des réels ou des complexes, et \(u\) l’endomorphisme ...
exo7 2469
Soit \(a,b,c\) trois réels et \(u\) l’endomorphisme de ...
exo7 2471
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur un corps ...
exo7 2473
Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 2477
Soit \(A\) une matrice carrée réelle d’ordre \(n\) non nulle et nilpotente.
exo7 2563
Soit \(M\) la matrice réelle \(3\times3\) suivante : ...
exo7 2566
Soit \[A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 1&-1&2\end{pmatrix}\] Démontrer que ...
exo7 2567
Soit \[A=\begin{pmatrix}1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&1\end{pmatrix}\] Factoriser le polynôme ca ...
exo7 2568
Soit \[A=\begin{pmatrix}a&c \\ c&d\end{pmatrix}\in M_2(\R)\] Démontrer que ...
exo7 2571
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) vérifiant ...
exo7 2573
(7 points) On considère la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par ...
exo7 2574
(5 points) Soit \(A\) une matrice carrée, \(A\in M_n(K)\) ( ...
exo7 2575
(4 points) On suppose qu’une population \(x\) de lapins et une population ...
exo7 2577
(7 points) Soient \(M\) et \(A\) deux matrices de ...
exo7 2580
Soit \(M\) la matrice de \(\R^4\) suivante ...