Programme de mathématiques PT
C - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
Après avoir introduit le vocabulaire des éléments propres en dimension quelconque, cette partie s’intéresse de manière plus approfondie au cas de la dimension finie, et à la question de la diagonalisabilité d’un endomorphisme ou d’une matrice carrée.
Tout développement sur les polynômes d’endomorphisme est hors programme.
- a) Éléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée 230
- b) Polynôme caractéristique 170
- c) Endomorphismes et matrices diagonalisables 202
- d) Endomorphismes et matrices trigonalisables 21
exo7 3623
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \((u_n)\) une suite d’endomorphismes diago ...
exo7 3624
On donne une matrice carrée réelle \(M\) d’ordre \(n\). Soient ...
exo7 3640
On note \(f_n(x) = \cos nx\) et \(g_n(x) = \sin nx\) ( ...
exo7 3659
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), et ...
exo7 3710
Pour tout triplet \((a,b,c)\) de réels on pose ...
exo7 3767
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\) et \(M = (a_ia_j) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montre ...
exo7 3770
Pour \(P,Q \in \R_n[X]\) on pose ...
exo7 3773
Soient \(p,q\) deux projecteurs orthogonaux.
exo7 3775
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) antisymétrique et \(f\) l’endomorphisme de ...
exo7 3780
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique telle qu’il existe \(k \in \N^*\) tel ...
exo7 3784
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques, \(B\) définie positive. Montrer ...
exo7 3790
Soient \(h \in \mathcal{L}(E)\) autoadjoint, \(\vec x_0 \in E\) unitaire, ...
exo7 3792
Soit \(f\in\mathcal{L}(E)\). Montrer que ...
exo7 3803
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire défini par ...
exo7 3806
Soient \(A,B\) des matrices de \(\mathcal{M}_n(\R)\) symétriques et ...
exo7 3810
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) de valeurs propres ...
exo7 3815
Peut-on définir sur \(\R^2\) une structure euclidienne telle que l’endomorphisme ...
exo7 3816
Soit \(M\in\mathcal{M}_n(\C)\) et \(\lambda\in\mathrm{spec}(M)\). Montrer que ...
exo7 3819
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^2 = -I_n\).
exo7 3821
Soient \(n \in \N^*\), \(S_n(\R)\) l’espace des matrices ...
exo7 4071
Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants :
exo7 4072
Soit \(A\) un polynôme à coefficients réels de degré 2 donné. Au polynôme \(P\) d ...
exo7 4584
Soit ...
exo7 4787
On considère l’espace \(\mathcal{M}_n(\C)\) muni d’une norme quelconque.
exo7 4821
Soit \(E\) un espace vectoriel complexe de dimension finie. On considère un endomorphisme ...
exo7 4933
Soit \({\cal S}\) la surface d’équation ...
exo7 4940
On considère un plan \(P\) et une droite \(D\) sécants. Déterminer le lieu des po ...
exo7 5271
Soit \(f\) qui, à \(P\in\Rr_{2n}[X]\) associe ...
exo7 5275
Soit ...
exo7 5490
Soit \(M=\left( \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right)\) avec ...
exo7 5644
Soient \(a_0\),...,\(a_{n-1}\) \(n\) nombres com ...
exo7 5649
Soient \(a_0\), ... , \(a_{n-1}\) ...
exo7 5651
Soit \(A =\left( \begin{array}{ccc} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&1 \end{array} \right)\). Pour ...
exo7 5652
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Rr)\) l’équation \(X^2 = A\) où ...
exo7 5653
Soit \(A = \left( \begin{array}{ccc} 3&1&0\\ -4&-1&0\\ 4&8&-2 \end{array} \right)\).
exo7 5654
Soit \(f\) qui à \(P\) élément de ...
exo7 5655
Soit \(E=\Rr_{3}[X]\). Pour \(P\) élément de ...
exo7 5656
Soit \(A\) une matrice rectangulaire de format \((p,q)\) et ...
exo7 5659
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes d’un espa ...
exo7 5661
Soit ...
exo7 5663
Soient \(A\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc\)) et ...
exo7 5664
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 5665
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) telle que ...
exo7 5666
Soit \(A\) une matrice antisymétrique réelle. Etudier la parité de son polynôme car ...
exo7 5667
Soit ...
exo7 5672
Calculer ...
exo7 5673
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(2\) telle que ...
exo7 5674
\(E =C^0(\Rr,\Rr)\). Pour \(f\) élément de \(E\) ...
exo7 5677
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes d’un ...