Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
b) Endomorphismes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Identité, homothéties. | Notations $\mathrm{id}_E$, $\mathrm{id}$. |
Opérations sur les endomorphismes : combinaison linéaire, composition. | Notation $u^k$ pour $u\in\mathscr{L}(E)$ et $k\in\mathbb{N}$. |
Projection ou projecteur, symétrie : définition géométrique, caractérisation par $p^2=p$, par $s^2=\mathrm{id}$. | On incite les étudiants à se représenter géométriquement ces notions par des figures en dimension 2 et 3. |
Automorphismes. Groupe linéaire. | Notation $\mathrm{GL}(E)$. On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe, mais la définition axiomatique des groupes est hors programme. Notation $u^k$ pour $u\in\mathrm{GL}(E)$ et $k\in\mathbb{Z}$. |
exo7 1021
Montrer que \({f} : {\Rr^3} \to {\Rr^3}\), ...
exo7 1022
Soit \(E\) un \(\Qq\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 1025
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et ...
exo7 1028
Soit \((f,g)\in \left( L(E)\right) ^{2}\) où \(E\) est un ...
exo7 1029
Soit \((f,g)\in \left( L(E)\right) ^{2}\) où \(E\) est un ...
exo7 1033
Donner un exemple d’endomorphisme d’un espace vectoriel injectif et non surjectif, puis d’un endomorphisme surjectif et non injectif.
exo7 1037
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, et \((f_{1},...,f_{k})\) des p ...
exo7 1038
Soit \(f\in L(E)\) où \(E\) est un \({K}\)-espac ...
exo7 1087
Soit \(\Rr^2\) muni de la base canonique \(\mathcal{B}=(\vec{i}, \vec{j})\). Soit ...
exo7 1090
Soit \(\varphi\) une application linéaire de \({\Rr}^2\) dans lui-même telle que ...
exo7 1091
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(\varphi \in \mathcal{L} (E) .\)
exo7 1092
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et ...
exo7 1096
Soit \(E\) un espace à \(n\) dimensions et \(f\) ...
exo7 1190
Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\), et ...
exo7 1339
Soient \(E\) un espace vectoriel réel de dimension 2 et \((e_1,e_2)\) une base de ...
exo7 1380
Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel et ...
exo7 1383
Soient \(E\) un \(\Rr\)-ev et ...
exo7 1400
On note \(R_n\) la rotation du plan de centre \(O\), d’angle ...
exo7 1479
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1518
Retrouver la matrice (dans la base indiquée sur le premier dessin) de la transformation subie par chacun des Shadocks ci-dessous. ...
exo7 1520
On considère l’application \(u\) suivante : ...
exo7 1525
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1543
Soit \(f\) une transformation orthogonal d’un espace euclidien \(E\). Montrer que ...
exo7 1544
Déterminer la nature des transformations de \(\R^{3}\) dont les matrices dans la base canonique sont les suivantes ...
exo7 1551
A — Soit \(E\) un espace vectoriel et \(u\) et ...
exo7 1552
Dans un espace euclidien \((E,<\cdot ,\cdot>)\), on considère un vecteur ...
exo7 1554
Dans un espace euclidien \(E\), on considère un vecteur unitaire \(a\), et à un r ...
exo7 1557
Que peut-on dire d’une matrice carrée réelle à la fois symétrique et orthogonale ? Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’endom ...
exo7 1560
Déterminer une matrice diagonale \(D\in\mathcal{M}_2(\Rr)\) et une matrice orthogonale ...
exo7 1566
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1567
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1568
Soit \(E\) un espace euclidien et \(u\in O (E)\) telle que ...
exo7 1582
Que peut-on dire d’un endomorphisme d’un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie annulé par les polynômes ...
exo7 1587
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\ge 2\) et ...
exo7 1592
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(K\)-espace vectoriel ...
exo7 1599
Soient \(E\) un K-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1600
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphisme s d’un espace vectoriel ...
exo7 1603
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de ...
exo7 1604
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de ...
exo7 1609
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E=\C^{n}\). Soit ...
exo7 1610
On considère l’application suivante : ...
exo7 1613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et de base ...
exo7 1618
On considère les matrices suivantes ...
exo7 1621
Soit \(T\) l’application linéaire de \(\mathbb R^3\) dans ...
exo7 1624
Soit \(u\) l’application suivante : ...
exo7 1631
Soit \(P_{0}\) un polynôme de \(\R_{n}[X]\), et ...
exo7 1637
On considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)\) et l’application ...
exo7 1640
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, et \(u\) un endomorphisme de ...
exo7 1644
On considère un réel \(\alpha\) et l’application \(T_{\alpha}\) suivante : ...
exo7 1648
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\C^3\) dont la matrice par rapport à la base can ...