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Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\sh(2+x)+\sh(2+2x)+...+\sh(2+100x)=0\).

Montrer que pour tout réel \(x\) non nul, on a :  ...

Soit \(\epsilon\) une racine \(n\)-ième de l’unité ; calculer ...

Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\Nn^*\), ...

Montrer par récurrence que, pour tout naturel non nul \(n\), ...

Montrer que les solutions de l’équation \(1+z+z^2+...+z^{n-1}-nz^n=0\) sont de module inférieur ou égal à ...

La difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable.

Quel est le coefficient de \(a^4b^2c^3\) dans le développement de \((a-b+2c)^9\). ...

Développer \((a+b+c+d)^2\) et \((a+b+c)^3\).

Soit \((n,a,b)\in\Nn^*\times]0,+\infty[\times]0,+\infty[\). Quel est le plus grand terme du développement de ...

Résoudre dans \(\Nn*\) l’équation \(\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\binom{n}{3}= 5n\). ...

Cet exercice est consacré aux sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique ou d’une suite géométrique.

Calculer les sommes suivantes :

(*) Calculer \(\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{k})\), \(n\in\Nn^*\).

Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que ...

Montrer que, pour \(a\) réel positif et \(n\) entier naturel donnés, ...

On veut montrer de manière élémentaire (c’est-à-dire en se passant du logarithme népérien et en ne travaillant qu’avec les deux opérations ...

Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), ...

Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), \(a_2\),..., ...

Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels positif ...

Montrer que : \(\forall x\in\Rr,\;E(x+1)=E(x)+1\).

Tout entier naturel non nul \(n\) s’écrit de manière unique sous la forme

...

Soient \(x\) un réel. Déterminer ...

Soient \(n\) un entier naturel et \(x\) un réel positif.

Montrer que : \(\forall n\in\Nn^*,\;\forall x\in\Rr,\;\sum_{k=0}^{n-1}E(x+\frac{k}{n})=E(nx)\) (poser la division ...

Montrer que pour \(n\in\Nn\), ...

Soit \(n\in\Nn^*\).

Montrer que \(\forall n\in\Nn^*,\;\forall x\in\Rr,\;E(\frac{E(nx)}{n})=E(x)\).

Soit \(n\in\Nn^*\) et \((x_1,x_2,...,x_n )\in[-1,1]^n\) tels que ...

Montrer que \(\forall n\in\Nn,\;(n\geq3\Rightarrow\sqrt{n}<\sqrt[n]{n!})\).

(commencer par vérifier que ...

Montrer que \(\forall n\in\Nn^*,\;\sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geq\frac{n}{4}\) (remarquer que si ...

Montrer que \(\forall n\in\Nn,\;\forall x\in\Rr,\;|\sin(nx)|\leq n|\sin x|\).

Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\Rr^4\) engendré par ...

Soit \(A\) une partie non vide et bornée de \(\Rr\). Montrer que ...

Montrer que pour tout entier naturel non nul \(n\), ...

Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=1\). ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite arithmétique ne s’annulant pas. Montrer que pour tout entier naturel ...

Calculer \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1^2+2^2+...+k^2}\).

Montrer que, pour \(n\geq2\),

Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite réelle telle que ...

Combinaisons avec répétitions. Montrer que le nombre de solutions en nombres entiers \(x_i\geq0\) de l’équation ...

De combien de façons peut-on payer \(100\) euros avec des pièces de \(10\), ...

On donne \(n\) droites du plan. On suppose qu’il n’en existe pas deux qui soient parallèles, ni trois qui soient c ...

Pour \(n\in\Nn^*\), on pose \((1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}\) où ...

Soient \(A\) la somme des chiffres de \(4444^{4444}\) et ...

Résoudre dans \((\Nn^*)^2\) l’équation d’inconnue \((x,y)\) :  ...

Montrer que \(n=4...48...89\) (\(p\) chiffres ...

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...

Montrer que \(\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})\).

Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés : ...