Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie
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Cette section « boîte à outils » complète l’enseignement du lycée sur un certain nombre de points importants pour la suite :
- calculs de sommes et de produits, dont la formule du binôme ;
- résolution de petits systèmes linéaires par l’algorithme du pivot ;
- manipulation d’inégalités et résolution d’inéquations ;
- utilisation du cercle trigonométrique, manipulation des lignes et fonctions trigonométriques.
- a) Sommes et produits 139
- b) Résolution de petits systèmes linéaires par la méthode du pivot 59
- c) Inégalités 111
- d) Trigonométrie 175
exo7 754
Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...
exo7 7545
Soit \(\sum a_n z^n\) et \(\sum b_nz^n\) deux séries entières de rayon de converg ...
exo7 756
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation d’inconnue \(x\) : ...
exo7 757
Soit \(f:\Rr^{2}\rightarrow \Rr^{2}\) définie par: ...
exo7 761
Calculer pour \((n,a,b)\in \Nn^{*}\times \Rr^{2}\) : ...
exo7 762
Soit \((a,b)\in\R^2\), résoudre le système ...
exo7 764
Soit \(x\in\R\). On pose \(t=\Arctan(\sh x)\).
exo7 767
Calculer les sommes ...
exo7 777
Résoudre l’équation \(\tan (3 \arcsin x) = 1\). On exprimera les trois solutions au moyen de radicaux.
exo7 778
Déterminer les fonctions \(f\) de \([a, b]\) dans ...
exo7 78
On rappelle la formule (\(\theta\in\mathbb{R}\)) : ...
exo7 80
En utilisant les nombres complexes, calculer \(\cos 5\theta\) et \(\sin5\theta\) ...
exo7 805
Construire la courbe paramétrée ...
exo7 809
On appelle épicycloïde la courbe décrite par un point d’un cercle de rayon \(r\), lié à ce cercle, quand ...
exo7 82
Exprimer \((\cos 5x) (\sin 3x)\) en fonction de \(\sin x\) et ...
exo7 822
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 823
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[x\cos^2 x\] ...
exo7 829
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\frac{\cos^3 x}{\sin x}\] ...
exo7 83
Soit \(x\) un nombre réel. On note ...
exo7 84
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations : ...
exo7 85
Calculer \(\sin (25 \pi/3), \cos (19 \pi/4), \tan (37 \pi/6).\)
exo7 86
Résoudre l’équation : \(2\sin^2x-3\sin x-2=0\), puis l’inéquation : ...
exo7 87
Etudier le signe de la fonction donnée par \(f(x)=\cos 3x+\cos 5x.\)
exo7 88
Simplifier, suivant la valeur de \(x\in [-\pi,\pi]\), l’expression ...
exo7 89
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes: (donner les valeurs des solutions appartenant à ...
exo7 90
A quelle condition sur le réel \(m\) l’équation \(\sqrt{3}\cos(x)+\sin(x)=m\) a-t ...
exo7 91
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes: ...
exo7 914
Peut-on déterminer des réels \(x, y\) pour que le vecteur \(v=(-2,x,y,3)\) appart ...
exo7 915
Soient \(f (x) = \cos (x)\), \(g (x) = \cos (x) \cos (2x)\) et ...
exo7 92
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes:
exo7 95
Calculer les sommes suivantes : \[\sum_{k=0}^{n}\cos(kx) \quad ; \quad \sum_{k=0}^{n}C_n^k\cos(kx).\]
Factorielles
Les questions suivantes sont indépendantes :
Formule de Koenig-Huygens
Soient \(x_1, \ldots, x_n\) des réels. On note ...
Formule du binôme
Calculer ...
Identité avec des racines carrées
Soient \(x\) et \(y\) deux réels positifs tels que ...
Inverse de matrice
Soient les matrices ...
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Soient ...
Inéquation
Résoudre l’inéquation : \[\frac{(x+1)(x-2)}{2x+1} > 0\]
Inéquation et racines
Résoudre l’équation suivante, d’inconnue \(y\) : \[2y-5 - \sqrt{4y-7} \leq 0\] ...
Inéquations et valeurs absolues
Résoudre les inéquations \[|2x-5|\leq |x+3| \qeq |x^2-6x+7| < 1\]
Partie entière
Soient \(x\) et \(y\) deux réels.
Partie entière et partie fractionnaire
Soit \(f:x\mapsto x-[x]\). Que représente \(f(x)\) pour un réel ...
Premiers calculs
Soient \(x\) un réel, et \(0\leq p\leq n\) des entiers. Déterminer ...
Produits et factorielles
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Exprimer les produits suivants à l’aide de factorielles : ...
Produits et factorielles
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Exprimer les produits suivants à l’aide de factorielles : ...
Retour de l'inégalité de Bernoulli
Montrer, sans récurrence, l’inégalité de Bernoulli dans le cas où \(q\ge 0\) : ...
Récurrences
Démontrer par récurrence les résultats suivants :
Régression linéaire
On dispose d’observations \((x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\). On cherche les "meilleurs" coefficients ...
Résolution de système linéaire
Résoudre le système : ...
Résolution de système linéaire à coefficients complexes
Résoudre le système linéaire à coefficients complexes suivant : ...