Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
exo7 3327
Soient \(E,F\) deux \(K\)-ev et ...
exo7 3328
Soient \(E\), \(F\) deux ev de dimensions finies et ...
exo7 3329
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\). Établir :
exo7 3330
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\). Montrer que les ...
exo7 3331
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que ...
exo7 3332
Soient \(E,F\) deux ev, \(E\) de dimension finie, et ...
exo7 3333
Soient \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que ...
exo7 3334
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f^3 = 0\).
exo7 3335
Soit \(E\) de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que : ...
exo7 3336
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3337
Soient \(E,F,G\) trois \(K\)-ev avec \(\dim(G)\) ...
exo7 3338
Soient \(E\) en ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\).
exo7 3339
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie. Le centre de ...
exo7 3340
Soit \(f \in \mathcal{L}(E,F)\).
exo7 3341
Soit \(E\) un \(\R\)-ev et ...
exo7 3342
Soit \(E\) un \(K\)-ev et ...
exo7 3343
Un endomorphisme \(f \in \mathcal{L}(E)\) est dit nilpotent s’il existe ...
exo7 3344
Soit \(E\) un \(K\) espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 3345
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 3346
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3347
Soit \(E\) un ev de dimension 3 et \(u\in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3348
Soit \(E\) un ev de dimension supérieure ou égale à 3 et ...
exo7 3349
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\). On pose ...
exo7 3350
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\). On pose \(K = \mathrm{Ker} f\), ...
exo7 3351
Soient \(u,v \in \mathcal{L}(E)\). Déterminer le rang de l’endomorphisme de ...
exo7 3352
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(\cal A\) une sous-algèbre de ...
exo7 3353
Un idéal à gauche de \(\mathcal{L}(E)\) est un sev \({\cal I}\) de ...
exo7 3354
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3355
Soit \(f\in \mathcal{L}(E)\) telle que \(f^2 = 0\). Montrer qu’il existe ...
exo7 3356
Soit \(f\) un endomorphisme donné de \(E\) de dimension ...
exo7 3357
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(GL(\R^n)\) et ...
exo7 3358
Soit \(M = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\). On dit que \(M\) est en dam ...
exo7 3369
On note \((E_{ij})\) la base canonique de \(\mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3372
Soit \(\alpha \in K\), et \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\). Étudier l’équation d’inc ...
exo7 3373
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3377
Une matrice carrée \(M\) est dite magique si les sommes des coefficients de ...
exo7 3381
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&1\cr 1&1 \cr\end{pmatrix}\). On veut résoudre l’équation dans ...
exo7 3382
Soit \({\cal G} \subset \mathcal{M}_n(K)\) tel que pour la multiplication, ...
exo7 3383
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(A^k = I\ (k \ne 0)\). On pose ...
exo7 3387
Une partie \({\cal I} \subset \mathcal{M}_n(K)\) est appelée idéal à droite de ...
exo7 3390
Soit \(E = \{ \text{matrices de } \mathcal{M}_n(\R) \text{ antisymétriques}\}\) et ...
exo7 3406
Soit \(A \in \mathcal{M}{n+1}(\Q)\) telle que \(a_{ij} = C_{j-1}^{i-1}\). Interpr ...
exo7 3421
Soient \(f_1, \dots, f_n\), \(n\) formes linéaires indépendantes sur un ev ...
exo7 3422
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3436
Soient \(\vec a, \vec b, \vec c, \vec d\) quatre vecteurs d’un ev \(E\) de dimens ...
exo7 3437
Soient \(\vec a, \vec b, \vec c, \vec d\) quatre vecteurs d’un ev \(E\) de dimens ...
exo7 3440
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel qu’il existe deux sev \(F,G\) supplémentaires e ...
exo7 3444
Soient \(E\) un ensemble quelconque et \({f_1, \dots, f_n} : E \to K\) des foncti ...
exo7 3478
Soit \(A \in \mathcal{M}_{2}(K)\). Chercher le rang de l’application ...
exo7 3485
Soient \(p,q\) deux projections de même base \(H\) et de directions ...