Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
A - Limites et continuité
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Le paragraphe a) consiste largement en des adaptations au cas continu de notions déjà étudiées pour les suites. Afin d’éviter des répétitions, le professeur a la liberté d’admettre certains résultats.
Pour la pratique du calcul de limites, on se borne à ce stade à des calculs très simples, en attendant de disposer d’outils efficaces (développements limités).
- a) Limite d’une fonction en un point 152
- b) Continuité en un point 173
- c) Continuité sur un intervalle 225
- d) Fonctions complexes 2
Calcul de limite en l'origine par coordonnées polaires
Soit la fonction \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Continuité et dérivées partielles de $f(x,y)=y^2\ln|x|$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Continuité et dérivées partielles en un point
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Continuité, dérivées partielles, classe $C^1$ et différentiabilité
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Différentiabilité en un point
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
exo7 1212
Soit \(f\) une fonction continue de \([0,1]\) dans lui-même telle que ...
exo7 1213
À quelle condition sur \(f\) et \(g\) a-t-on ...
exo7 1214
Soient \(f\) et \(g\) équivalentes au voisinage de ...
exo7 1216
Étudier en \(+ \infty\) et \(-\infty\) la fonction ...
exo7 1217
Calculer les limites de
exo7 1219
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2} - \sqrt[3]{x^3 - x^2}\)
exo7 1223
Étudier la continuité, la dérivabilité, la continuité de la dérivée pour les applications suivantes :
exo7 1226
Soit \(f\) une application continue de \([a,b]\) à valeurs dans ...
exo7 1228
Soit \(f\) une fonction continue de \([0,1]\) à valeurs dans ...
exo7 1235
Soit \(I\) un intervalle ouvert contenant \(0\) et ...
exo7 1238
Soit \(f : { \Rr} \rightarrow { \Rr}\) la fonction définie par \(f(x)=0\) si ...
exo7 1239
Déterminer la limite en \(0\) de ...
exo7 1247
Calculer les limites suivantes ...
exo7 1250
Montrer que pour tout ...
exo7 1253
Soit \(f (x) = (\cos x)^{\frac 1x}\) pour ...
exo7 1254
Étudier les branches infinies des fonctions :
exo7 1255
Soit \((1)\) l’équation \(x-E (x) = \frac 1 {x^2}\).
exo7 1256
Calculer pour \(a\in \Rr^{+*}\) : ...
exo7 1257
Calculer : \[\ell=\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\left( \frac{\ln x+1}{\ln x}\right)^{x\ln x}\] et donner un équiva ...
exo7 1258
Soit \(x\in \Rr^{+},\) on définit \((u_{n}(x))_{n}\) et ...
exo7 1259
Soit \(n\in \Nn^{*},x\neq 0,\) on définit : ...
exo7 1260
Déterminer : \[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2\tan x-\sh 2x}{(1-\cos 3x)\arctan x}.\]
exo7 1264
Montrer que, pour tout \(x\) réel vérifiant \(\vert x \vert \leq 1\) : ...
exo7 1265
Déterminer:
exo7 1274
Soit \(f :[0,1]\rightarrow { \Rr}\) une fonction continue telle que \(f(0)=0 .\) ...
exo7 1275
Soit \(f :[a,b]\rightarrow { \Rr}\) une fonction intégrable.
exo7 1276
Soit \(f :[0,1]\rightarrow { \Rr}\) une fonction continue. Montrer que ...
exo7 1284
Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1285
Étudier la fonction : \[h:x\rightarrow \int_{x}^{x^{2}}\frac{dt}{\log t}.\] Domaine de définition, continuité et ...
exo7 1288
Soit \(f\) une application continue par morceaux de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1294
Soit \(f:]0;1] \rightarrow {\Rr }\) continue et monotone, telle que ...
exo7 1295
Montrer que si \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) est uniformément continue, alors ...
exo7 1300
Soit \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) continue, tendant vers \(\ell\) en ...
exo7 1301
Calculer : ...
exo7 1302
Soit \(f\in C({\Rr},{\Rr})\) telle que \(\int_{-\infty }^{\infty }f\) existe, mon ...
exo7 1730
Soit \(f\) une fonction \(C^2\) sur \(\Rr\) conv ...
exo7 1733
\(I\subset {\Rr}^{+*}\) un intervalle de ...
exo7 1737
Soit \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr }\) continue telle que : ...
exo7 1764
Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On définit la distance d ...
exo7 1765
Soit \(f:\R^d\rightarrow \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 1795
On définit la fonction \(f\) sur \(\R^2 \setminus \{ (x,x) \; ;\; x\in \R \}\) pa ...
exo7 1799
Soit ...
exo7 1803
Soit \(f : \R^{2} \rightarrow \R\), définie par ...
exo7 1804
Soit \(a\in {\Rr}^{2}\) fixé ; l’application ...
exo7 1807
Soient \(\alpha>0\) et \(f~:\,\R^2 \to \R\) définie par ...