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On considère la suite réelle définie par : \[x_0=1 \quad\mbox{et} \quad x_{n+1}= \sqrt{2x_n+1}.\]

Soit une suite qui vérifie une relation de récurrence ...

Soit \(A_n= \left( \begin{array}{cc} 1&-\frac{a}{n}\\ \frac{a}{n}&1 \end{array} \right)\) ( ...

Posons \(u_2=1-\frac{1}{2^2}\) et pour tout entier \(n\geq 3\), ...

Calculer, lorsqu’elles convergent, les limites des suites définies par :
\(u_n=n-\sqrt{n^2-n}\) ...

Montrer que les suites définies pour \(n\geq1\) par :
...

Etudier la limite des suites suivantes : \(a_n=\cos{(\dfrac{2^n}{n!})}\); ...

Déterminer les limites lorsque \(n\) tend vers l’infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser ...

Soit \(a>0\). On définit la suite \((u_n)_{n\geq 0}\) par ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs. Montrer que les séries de termes généraux ...

Nature de la série de terme général \(u_n=\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right)\).

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels positifs. Trouver la nature de la série de terme général ...

Soit \(x\) un réel.

Etudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) les séries de fonctions de termes généraux :

Soit \(n \geq 1\).

Calculer suivant les valeurs de \(x\) : ...

Soient \(a_0\) et \(b_0\) deux réels fixés. On définit par récurrence les suites ...

Soit \((u_n)\) une suite qui tend vers \(0\). On pose ...

Déterminer les limites de \(\dfrac{n^{\ln (n)}}{\ln^n (n)}\) et \(\sqrt[n]{n^2}\) ...

Soit \((u_{n})_{n\in \Nn\text{ }}\) une suite réelle dont tous les termes sont non nuls et telle que : ...

Étudier la suite définie par récurrence : \[u_{0}=a>0,u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}.}\]

Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn^{*}}\) définie par : ...

Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...

Soit \(\phi :\Nn\rightarrow \Nn\) bijective, telle que ...

Soit \(\phi :\Nn\rightarrow \Nn\) injective; montrer que ...

Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite bornée. On pose \(v_{n}=u_{n+1}-u_{n}\) et ...

Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite réelle convergeant vers \(\ell\) et ...

Déterminer ...

Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites réelles telle ...

Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites réelles telle ...

Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites à valeurs dan ...

Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites convergeant r ...

Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite bornée telle que : ...

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on définit \(f_{n}~:]0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) pa ...

Montrer que si \(\forall n \in \Nn\) \(u_n \neq 0\) et si ...

Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites réelles de li ...

Étude de \((u_{n})_{n\in \Nn }\) définie par : ...

Soit \(x\) un réel.

Montrer la réciproque du théorème de Césaro (i.e. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n}=l\)) :

Un professeur oublie fréquemment ses clés. Pour tout \(n\), on note : \(E_n\) l’é ...

Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par \(u_{0}=1\) et ...

Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) la suite définie par \(u_{n+1}=u_{n}+u_{n}^{2}.\) L’é ...

Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn^{*}}\) définie par : ...

Soit \(f\) une application de \(\R\) dans \(\R\) ...

Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en \(+\infty\).

Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.

Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) croissante, montrer qu’elle a un point fixe.

Indication : étudie ...

Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) continue. Montrer que : ...

Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) continue, évaluer : ...

Soit \(f : [a,b] \to \R\) une fonction continue. On veut démontrer que ...