Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral
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Le point de vue adopté dans cette section est pratique : il s’agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en œuvre les techniques de base de l’analyse. La mise en place rigoureuse des notions abordées fait l’objet de sections ultérieures.
Les objectifs de formation sont les suivants :
- l’introduction de fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d’optimisation ;
- la manipulation des fonctions classiques dont le corpus est étendu ;
- le calcul de dérivées et de primitives ;
- la mise en pratique, sur des exemples simples, de l’intégration par parties et du changement de variable ;
- l’application des deux points précédents aux équations différentielles.
Le cours sur les équations différentielles est illustré par des exemples issus des autres disciplines scientifiques.
- A - Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles ou complexes 387
- B - Primitives et équations différentielles linéaires 284
exo7 5454
Soit \(a\) un réel strictement positif et \(f\) une application de classe ...
exo7 5460
Etude complète de \(F(x)=\int_{x}^{2x}\frac{dt}{\sqrt{t^4+t^2+1}}\).
exo7 5461
Trouver toutes les applications continues sur \(\Rr\) vérifiant : ...
exo7 5464
Déterminer \(\lim_{x\rightarrow 1}\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}\).
exo7 5466
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
...
exo7 5467
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés : ...
exo7 5468
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
...
exo7 5470
Calculer les intégrales suivantes (\(a\), \(b\) réels donnés, ...
exo7 5472
Etude de \(f(x)=\int_{-1}^{1}\frac{\sin x}{1-2t\cos x+t^2}\;dt\).
exo7 5473
Etude de \(f(x)=\int_{0}^{1}\mbox{Max}(x,t)\;dt\).
exo7 5476
Résoudre sur l’intervalle \(I\) de \(\Rr\) proposé les équations différentielles ...
exo7 5477
Résoudre l’équation différentielle \((1-x^2)y'-2xy=x^2\) sur chacun des intervalles ...
exo7 5478
Résoudre sur \(\}-\infty,0[\) et \(]0,+\infty[\) l’équation différentielle : ...
exo7 5479
Résoudre sur \(\Rr\) les équations différentielles :
...
exo7 5480
On considère l’équation différentielle \((E)\) : ...
exo7 5481
Soit \(a\) un réel non nul. Soit \(f\) continue sur ...
exo7 550
Discuter suivant les valeurs de \(u_0\) la nature de la suite ...
exo7 5537
Trouver le point de la courbe d’équation \(y=\ln x\) en lequel la valeur absolue du rayon de courbure est minimum. ...
exo7 5645
Soient \(a_{i,j}\), \(1\leqslant i,j\leqslant n\), ...
exo7 5716
Existence et calcul de :
| 1) (** I) ... |
exo7 5717
Deux calculs de \(I =\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin x)\;dx\).
1) (** I) En utilisant ...
exo7 5735
Pour \(n\in\Nn^*\) et \(t\in\Rr\), soit ...
exo7 5736
Pour \(x>0\), on pose \(f(x) =\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}\). Trouver un ...
exo7 5737
Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...
exo7 5756
Pour \(x\) réel, on pose \(F(x) =e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\). En développan ...
exo7 5766
Pour \(x\in\Rr\), on pose ...
exo7 5781
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\Rr\), ...
exo7 5851
Soit \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\) une application uniformément continue sur \(\Rr\). ...
exo7 5874
Résoudre sur \(\Rr\) l’équation différentielle proposée :
exo7 5875
Soit \(\alpha\in\Cc\) tel que \(\text{Re}(\alpha) > 0\). Soit ...
exo7 5876
Soit \(f\) une application de classe \(C^2\) sur ...
exo7 5880
Soit \(A\in\mathcal{S}_n^+(\Rr)\). Montrer que pour toute solution de ...
exo7 5881
Résoudre les systèmes :
exo7 5882
Résoudre les équations différentielles suivantes :
exo7 5883
Trouver les fonctions \(f\) dérivables sur \(\Rr\) vérifiant ...
exo7 5884
Trouver toutes les fonctions \(f\) dérivables sur \(]0,+\infty[\) vérifiant ...
exo7 5886
Montrer que \(\forall x>0\), ...
exo7 5922
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on définit \(f_{n}~:]0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) pa ...
exo7 5932
Cet exercice fournit une autre méthode de calcul du volume de la boule unité \(\mathcal{B}_{n}\) de ...
exo7 595
Comparer les suites suivantes : ...
exo7 6066
Soit \(f\) une isométrie de \(\R\) dans \(\R\). ...
exo7 6068
Soit \(f\) une application continue de \(\R\) dans ...
exo7 6069
Soit \(f\) une application de \(\R\) dans \(\R\) ...
exo7 6071
On note pour tout \(x\in \Rr, \ \varphi(x)=\) dist\((x,\Zz)\).
exo7 612
Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en \(+\infty\).
exo7 615
Soit \(f : \Rr^+ \rightarrow \Rr^+\) croissante telle que ...
exo7 619
Pour tout \(n\) entier naturel et tout couple de réels \((x,y)\), établir la form ...
exo7 623
Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.
exo7 628
Calculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes : ...
exo7 6292
Une fonction \(f:U \subset \Rr^n \to \Rr\) est dite harmonique si ...