Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
b) Théorème de Rolle et conséquences
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Théorème de Rolle. Formule des accroissements finis. | L’inégalité des accroissements finis est hors programme et doit être établie à chacune de ses utilisations. |
Caractérisation des fonctions croissantes (au sens large) par la positivité de leur dérivée. Cas des fonctions constantes. | |
Cas des fonctions strictement croissantes. | Une fonction continue définie sur un intervalle et dont, sauf peut-être en un nombre fini de points, la dérivée existe et est strictement positive, est strictement croissante. |
Recherche d’extrémums. |
exo7 4254
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...
exo7 439
Soit \(K\subseteq\Cc\) un corps pour les lois usuelles sur \(\Cc\) et ...
exo7 5149
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), ...
exo7 5242
Montrer que pour \(x\) réel strictement positif, on a : ...
exo7 5407
Soit \(f\in C^1([a,b],\Rr)\) telle que ...
exo7 5408
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 5409
Soit \(f\in C^2([a,b],\Rr)\cap D^3(]a,b[,\Rr)\). Montrer qu’il existe ...
exo7 5412
Pour \(n\) entier naturel non nul donné, on pose \(L_n=((X^2-1)^n)^{(n)}\).
exo7 5414
Montrer que la fonction définie sur \(\Rr\) par \(f(x)=e^{-1/x^2}\) si ...
exo7 5415
Montrer que pour tout réel strictement positif \(x\), on a : ...
exo7 5416
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\Rr\) à valeurs dans ...
exo7 5417
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) à valeurs dans ...
exo7 542
Étudier la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 5420
Soit \(P\) un polynôme réel de degré supèrieur ou égal à \(2\).
exo7 5421
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur ...
exo7 544
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= \cos u_n\) et \(u_0=-8\).
exo7 555
Soit \(f(x)=-x^3+x^2-x+1\) et \(a\in [0,1]\). Étudier la suite définie par ...
exo7 557
Étudier la suite définie par récurrence par \(u_0=a\) et \(u_{n+1}=\cos u_n\), où ...
exo7 5880
Soit \(A\in\mathcal{S}_n^+(\Rr)\). Montrer que pour toute solution de ...
exo7 628
Calculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes : ...
exo7 641
Soit \(f\) une fonction continue sur \(]a,b[\) telle que ...
exo7 689
En étudiant les variations de la fonction \(f\) définie sur ...
exo7 6973
Montrer que pour tout \(x>0\), on a ...
exo7 715
Montrer que le polynôme \(P_n\) défini par ...
exo7 716
Etudier la fonction \(f: x\mapsto x^5-5x+1\) sur \(\mathbb{R}\) et en déduire que ...
exo7 717
Montrer que le polynôme \(X^n+aX+b\), (\(a\) et ...
exo7 718
Soit \(f\) une fonction \(n\) fois dérivable sur ...
exo7 720
Soit \(f\) une fonction continue et dérivable sur \([a,+\infty[\) et telle que ...
exo7 721
Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction \[f(x) =\alpha x^2+\beta x+\gamma\] sur l’i ...
exo7 722
Appliquer la formule des accroissements finis à la fonction \[f(x)=a+bx+ce^{\alpha x}\] (où ...
exo7 723
Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \([a,a+2h]\). Par introduction de ...
exo7 724
Soient \(x\) et \(y\) réels avec \(0<x<y\) ...
exo7 725
Par application du théorème des accroissements finis à \(f(x) = \ln x\) sur ...
exo7 727
Montrer que pour tout \(x \in \Rr\), ...
exo7 732
Soit \(f : \Rr^ + \rightarrow \Rr\) dérivable telle que ...
exo7 733
Déterminer les extremums de \(f (x) = x^4-x^3 + 1\) sur \(\Rr\).
exo7 734
Quel est le lieu des points d’inflexion (puis des extrémums locaux) de \(f_{\lambda }\) quand ...
exo7 736
Soit \(f\) dérivable sur \({\Rr }\) telle que ...
exo7 738
Soient \(f,g :[a , b] \longrightarrow \R\) deux fonctions continues sur ...
exo7 739
Soit \(n \geq 2\) un entier fixé et ...
exo7 745
Une statue de hauteur \(s\) est placée sur un piédestal de hauteur \(p\).
exo7 773
Démontrer les inégalités : ...
exo7 783
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans ...
exo7 802
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \([0,1]\), vérifiant :
exo7 804
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \([a,b]\), vérifiant ...
exo7 882
Soit \(p\) continue positive non nulle ; montrer que toute solution de ...
Études de fonctions
Etudier et représenter les fonctions suivantes : ...