Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
b) Dimension
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Dimension. | On admet que toutes les bases d’un sous-espace vectoriel ont même cardinal appelé dimension du sous-espace vectoriel. |
Dans un espace vectoriel de dimension $p \geq 1$ : • Toute famille libre peut se compléter en une base. • Toute famille libre a au plus $p$ éléments. • Une famille libre ayant $p$ éléments est une base. • De toute famille génératrice on peut extraire une base. • Toute famille génératrice a au moins $p$ éléments. • Une famille génératrice ayant $p$ éléments est une base. | Aucune version plus précise de ce théorème n’est exigible. Les démonstrations ne sont pas exigibles On complète ces propositions par l’étude du cas particulier des familles orthogonales de deux ou trois vecteurs de l’espace de dimension 2 ou 3. |
Si $E$ et $F$ sont deux sous-espaces vectoriels de $\mathbb{K}^n$ avec $F \subset E$, alors $\dim F \leq \dim E$ ; et si les deux dimensions sont égales, alors $F = E$. | |
Rang d’une famille finie de vecteurs. | Le rang peut se calculer pratiquement en adaptant la méthode du pivot aux familles finies de vecteurs. |
exo7 3639
Soit \(f : {\R^2} \to \R\). On dit que \(f\) est polynomiale si elle est de la fo ...
exo7 3640
On note \(f_n(x) = \cos nx\) et \(g_n(x) = \sin nx\) ( ...
exo7 3646
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3648
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3649
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3732
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...
exo7 5167
Soit \(\Rr^\Nn\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des suites réelles (muni des opérati ...
exo7 5173
Dans \(E=\Rr^4\), on considère ...
exo7 5183
\(E\) désigne l’espace vectoriel \(\Rr^4\) (muni des opérations usuelles). On con ...
exo7 5184
Soit \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\), \(E\) un ...
exo7 5265
Soient \(I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)\) et ...
exo7 5370
Déterminer les matrices \(A\), carrées d’ordre \(n\), telles que pour toute matri ...
exo7 5376
Donner une base du sous-espace vectoriel de \(\Rr^5\) défini par :
...
exo7 5496
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension \(n\geq1\). Une famille de ...
exo7 5565
\(E=\Kk^n\) où \(\Kk\) est un sous-corps de ...
exo7 5566
Les familles suivantes de \(\Rr^4\) sont-elles libres ou liées ? Fournir des relations de dépendance linéaire quan ...
exo7 5572
\(E=\Rr_n[X]\). Pour \(0\leqslant k\leqslant n\), on pose ...
exo7 5578
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 6869
Décrire les sous-espaces vectoriels de \(\Rr\) ; puis de \(\Rr^2\) et ...
exo7 7410
Dans \(\Rr^4\) on considère les quatre vecteurs ...
exo7 898
Les familles suivantes sont-elles libres ?
exo7 901
Dans \(\Rr^4\) on considère l’ensemble \(E\) des vecteurs ...
exo7 902
Dans l’espace \(\mathbb{R}^4\), on se donne cinq vecteurs : \(V_1=(1,1,1,1)\), ...
exo7 906
Dans \(\mathbb{R}^4\), comparer les sous-espaces \(F\) et ...
exo7 907
On suppose que \(v_1, v_2, v_3, \ldots,v_n\) sont des vecteurs indépendants de ...
exo7 920
On considère les vecteurs \(v_1=(1,0,0,1)\), \(v_2=(0,0,1,0)\), ...
exo7 979
Montrer que les vecteurs ...
exo7 980
Soient \(\vec{v_1}(1,2,3,4), \vec{v_2}(2,2,2,6), \vec{v_3}(0,2,4,4), \vec{v_4}(1,0,-1,2), \vec{v_5}(2,3,0,1)\) d ...
exo7 981
Montrer que les vecteurs \(v_1=(0,1,1)\), \(v_2=(1,0,1)\) et ...
exo7 982
On considère dans \(\mathbb{R}^4\), \(F=\mbox{lin}\{a,b,c\}\) et ...
exo7 983
Dans l’espace \(\mathcal{P}_5\) des polynômes de degré \(\leq 5\), on définit les ...
exo7 985
Vrai ou faux ? On désigne par \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimensi ...
exo7 986
Étudier l’indépendance linéaire des listes de vecteurs suivantes, et trouver à chaque fois une base du sous-espace engendré.
exo7 987
Dans \(\mathbb{R}^3\), les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon décrire le sous-espace qu’ils engendrent ...
exo7 988
Dans \(\mathbb{R}^3\), comparer les sous-espaces \(F\) et ...
exo7 989
Dans \(\mathbb{R}^4\), on considère les familles de vecteurs suivantes
...
exo7 991
On désigne par \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie. Les p ...
exo7 992
Soit \(E=\Rr_n[X]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à ...
exo7 993
Dans l’espace vectoriel \(\mathcal{P}_2\) des polynômes de degré \(\leq 2\), on c ...
exo7 995
Problème de l’interpolation : soit les cinq points \((x_1,y_1)=(-2,3)\), ...
exo7 996
Déterminer pour quelles valeurs de \(t\in {\Rr}\) les vecteurs ...
exo7 997
Soit \((\Sigma )\) le système d’équations linéaires : ...
exo7 998
Soit \(a\in \R .\) On pose, pour tout \(p\in \Nn : A_p(X)=(X-a)^p\) et ...
Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^4$
On se place dans \(\mathbb{R}^4\). On considère ...
Vrai/Faux sur les espaces vectoriels
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.