Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Analyse 2 – Fonctions réelles usuelles
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Le but de ce chapitre est de consolider et d’enrichir modérément le registre des fonctions usuelles. Pour chaque fonction, la maitrise attendue concerne la définition, les principales propriétés, la formule de dérivation (avec son domaine de validité) et la courbe représentative.
Des composées
On considère les fonctions \(f:x\donne x^2, g:x\donne \sqrt{x}\) et ...
Des domaines de définitions
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes : ...
Des inégalités en tout genre
Résoudre les inégalités suivantes :
Des inégalités sympathiques
Démontrer les inégalités suivantes : ...
Des puissances de $-1$
Soit \(f:\Z\dans \R\) définie pour tout entier \(x\) par ...
Des sinus et des $x$
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R\) par ...
Des équations à prendre au second degré
Résoudre les équations suivantes :
Décomposée
Soit \(f:x\donne \frac{1}{x^2+1}\) et \(g:x\donne \eu{-x^2}\). Déterminer quatre ...
Développements en série entière au voisinage de $0$
On considère les fonctions \[f(x)=\frac{1}{3+\frac{x}{2}} \qquad\text{et}\qquad g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}.\]
exo7 107
Soit \(f\) une application de \({\Rr}\) dans ...
exo7 120
Soient \(f,g\) deux fonctions de \(\Rr\) dans ...
exo7 1220
Soit \((f_{n})_{n\in \Nn}\) une suite de fonctions réelles. Montrer qu’il existe ...
exo7 1263
Soient \(f:x\mapsto \dfrac{x^3+2}{x^2-1}\) et ...
exo7 1264
Montrer que, pour tout \(x\) réel vérifiant \(\vert x \vert \leq 1\) : ...
exo7 1266
Soit \(g\) la fonction définie par : ...
exo7 1280
Donner la nature des intégrales suivantes : ...
exo7 1281
Montrer que \(\forall x>-1 \, \, \ln (1 + x)\leq x.\)
exo7 1285
Étudier la fonction : \[h:x\rightarrow \int_{x}^{x^{2}}\frac{dt}{\log t}.\] Domaine de définition, continuité et ...
exo7 1297
Nature et calcul de : ...
exo7 134
Écrire l’ensemble de définition de chacune des fonctions numériques suivantes : \(x\mapsto\sqrt x\), ...
exo7 1346
Traduire en termes d’homomorphisme de groupes les propriétés traditionnelles suivantes :
exo7 1491
Déterminer \(\inf\limits_{ (a, b)\in \Rr^{2}} \int_{0}^{1}{ (e^{x}- (ax + b))^{2}dx}\).
exo7 1729
Soient \(n \in \Nn^*\) et \(x_1, \ldots, x_n \in ]0, + \infty[\).
exo7 185
Soient \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) et \(g : \Rr \rightarrow \Rr\) telles que ...
exo7 188
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) définie par \(f(x) = x^3-x\).
...
exo7 2049
Tracer la courbe paramétrée définie par : ...
exo7 2091
Soit \(f\,:\;\R\to\R\) une fonction continue sur \(\R\) et ...
exo7 212
Montrer que la relation \(\mathcal{R}\) définie sur \(\Rr\) par : ...
exo7 2324
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions réelles périodiques de période ...
exo7 2652
Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée de \[\exp[-0.02\sqrt{4.03}].\] ...
exo7 2689
Montrer que \[\forall x\in\R,\qquad |\sin x| \leq |x|,\] ...
exo7 2696
On dispose d’un oscilloscope à deux voies. On applique sur la voie X une tension sinusoı̈dale de pulsation ...
exo7 2703
Soit l’arc paramétré défini par \[x = {t-\sin t \over t^2}, \quad y = {1-\cos t \over t^2}.\] Montrer qu’il peut ...
exo7 2715
Montrer que la courbe définie par \[\rho = 1+\tan{\theta\over2}\] admet une asymptote; préciser la position de la ...
exo7 3048
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) croissante. On note \(A = \{ x \in {[0,1]}\) tq ...
exo7 3845
Soit \(f : \R \to \R\) et \(T > 0\). On suppose que ...
exo7 3859
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue telle que \(f(0) = f(1)\).
exo7 3867
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) telle que : ...
exo7 3869
Trouver toutes les fonctions \(f : {\R} \to {\R}\) continues telles que : ...
exo7 3874
Soit \(f : \R \to \R\) croissante telle que : ...
exo7 3876
On pose : ...
exo7 3877
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) une fonction bornée.
On note ...
exo7 3879
Soit \(f : {\R} \to {\R.}\) On dit que \(f\) est localement croissante si : ...
exo7 3880
Soit \(f : {]0,1]} \to {\R}\) uniformément continue. Pour \(x \in {]0,1]}\) on po ...
exo7 3881
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) continue telle que \(f_{|\Q}\) est strictement croissa ...
exo7 3882
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) non identiquement nulle telle que : ...
exo7 3883
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) croissante. Montrer qu’il existe ...
exo7 3885
Soit \(f : \R \to \R\) vérifiant : ...
exo7 3886
Montrer que : \(\forall\ x > 0,\ x - \frac {x^2}2 < \ln(1+x) < x\).
En déduire ...
exo7 3888
Montrer que : \(\forall\ t > 1,\ \left(1+\frac 1t\right)^t < e < \left(1+\frac 1{t-1}\right)^t\).