Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Géométrie 1
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Ce chapitre vise à consolider les acquis des années antérieures sur les notions de vecteurs, droites et plans dans le plan et l’espace géométriques. En mathématiques, il sert essentiellement de support intuitif et introductif à l’algèbre linéaire ; il permet aussi de présenter le produit scalaire qui sera étudié dans des espaces plus généraux en seconde année. Enfin, ce chapitre sert également aux sciences physiques et à la géologie.
En mathématiques, une épreuve écrite ou orale ne doit pas reposer sur ce chapitre.
Dans tout ce chapitre, on se place dans le plan et l’espace géométriques formés de points et dans lesquels plusieurs notions et résultats sont supposés connus : distance entre deux points, parallélisme, perpendicularité, angle géométrique, angle orienté, angle droit, cosinus d’un angle géométrique, trigonométrie du triangle rectangle.
- a) Vecteurs du plan et de l’espace. 50
- b) Déterminant 17
- c) Droites et cercles dans le plan 168
- d) Droites et plans dans l’espace 122
- e) Projection orthogonale 61
- f) Produit scalaire 78
exo7 5823
Soit \((\mathcal{H})\) une hyperbole équilatère de centre \(O\) et ...
exo7 5826
Déterminer la quadrique contenant le point \(A(2,3,2)\) et les deux paraboles ...
exo7 5827
Démontrer que toute équation du second degré symétrique en \(x\), \(y\) et ...
exo7 5830
Trouver une équation du cône de sommet \(S\) circonscrit à la surface ...
exo7 5833
Equation cartésienne du cylindre \((\mathcal{C})\) de direction ...
exo7 5834
Equation du cylindre \((\mathcal{C})\) de section droite la courbe \((C)\) d’équa ...
exo7 5835
Equation cartésienne du cylindre de révolution \((\mathcal{C})\) de rayon \(R\) e ...
exo7 5836
Trouver les plans tangents à l’ellipsoïde d’équation \(x^2+2y^2+3z^2 = 21\) qui sont parallèles au plan d’équation ...
exo7 5837
Trouver les plans tangents à la surface \((\mathcal{S})\) d’équation \(x-8yz=0\) ...
exo7 5838
Equation du cylindre de révolution \((\mathcal{C})\) d’axe la droite d’équations ...
exo7 5899
Déterminer la différentielle en tout point de ...
exo7 60
Déterminer l’ensemble des nombres complexes \(z\) tels que :
exo7 6208
Montrer que pour tout \(x\in\Rr^n\), ...
exo7 6209
Sur \(M_n(\Rr)\) on note \(|A|=\sup_{||x||\leq1}||Ax||\) la norme opérateur de la ...
exo7 6368
Soit \(a>0\) et soit \(f: \Rr \times \Rr^n \to \Rr^n\) une application de clas ...
exo7 6402
Montrer que \(3\) points \(x, y\) et \(z\) sont ...
exo7 66
Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexes \(z\) tels que ...
exo7 6732
Calculer \(\int_C(z^2+3z)\ dz\) le long des chemins suivants :
exo7 6775
(D’abord un cas particulier) Dans \(\Rr^3\) on considère les objets suivants : le demi-espace ...
exo7 6870
Soient \(v_1=(2,1,4)\), \(v_2=(1,-1,2)\) et ...
exo7 6871
Par des considérations géométriques répondez aux questions suivantes :
exo7 6884
Déterminer le projeté orthogonal du point \(M_0(x_0,y_0)\) sur la droite \((D)\) ...
exo7 6988
Trouver les droites à la fois tangentes et orthogonales à la courbe ...
exo7 7009
Déterminer une équation complexe de la droite
exo7 7010
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts d’affixes ...
exo7 7047
On donne une droite \(\mathcal D\) et un point \(P \not\in \mathcal D\). Tracer l ...
exo7 7048
On donne un cercle \(\mathcal C\) (sans son centre).
exo7 7049
On donne deux points \(A\) et \(B\). Construire un triangle ...
exo7 7050
Soit \(ADC\) un triangle équilatéral et \(B\) le symétrique de ...
exo7 7053
On donne deux points \(O\) et \(I\), avec ...
exo7 7054
On donne deux cercles \(\mathcal C\) et \(\mathcal C'\) de rayons ...
exo7 7055
On donne une droite \(\mathcal D\) et un point \(O\) hors de la droite. Tracer le ...
exo7 7056
On donne une droite \(\mathcal D\), un point \(H\) sur ...
exo7 7057
On donne trois cercles distincts \(\mathcal C_1\), \(\mathcal C_2\) et ...
exo7 7058
Dans tout l’exercice, on fixe \(R>0\). Dénombrer et construire les cercles de rayon ...
exo7 7059
Soit \(ABC\) un triangle et \(\mathcal C\) son cercle circonscrit, de centre ...
exo7 7062
On donne un cercle \(\mathcal C\), un diamètre \([AB]\) et un troisième point ...
exo7 7063
On donne deux cercles \(\mathcal C\) et \(\mathcal C'\) de rayons distincts, ...
exo7 7067
Trois cercles sont tangents extérieurement deux à deux. Montrer que les tangentes communes sont concourantes.
exo7 7068
Soit \(ABC\) un triangle avec \(AB = 2 BC\) et ...
exo7 7073
Un quadrilatère convexe est dit tangentiel ou circonscriptible s’il possède un cercle inscrit, c’est-à-dire si ses quatre côtés s ...
exo7 7076
On donne un cercle \(\mathcal C\) (de centre \(O\)), un point ...
exo7 7077
Soit \(\mathcal D\) une droite et \(\sigma\) la réflexion orthogonale suivant cet ...
exo7 7078
On donne deux points \(A\) et \(B\). Soit ...
exo7 7079
À quelle condition sur quatre points \(P_1, ... P_4\) existe-t-il une homothétie ...
exo7 7081
Soit \(\mathcal D\) une droite, \(A\) et \(B\) d ...
exo7 7082
Soit \(ABC\) un triangle, \(P\) le pied de la hauteur issue de ...
exo7 7083
Soient \(\mathcal C\) et \(\mathcal C'\) deux cercles de rayons distincts. Mo ...
exo7 7084
On donne deux cercles. Déterminer le nombre de tangentes communes aux deux cercles et tracer ces tangentes.
exo7 7086
Soit \(ABC\) un triangle. On note \(G\), ...