Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
Analyse 5 – Suites réelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Suites majorées, minorées, bornées. Suites monotones. | |
Convergence, divergence. Limite infinie. | La définition d’une limite par $(\varepsilon, n_0)$ est présentée, mais aucune technicité ne pourra être exigée en la matière. |
Comparaison de la convergence et de la limite d’une suite $(u_n)$ avec celles des deux suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$. | Utilisation de cette comparaison pour justifier une divergence. La notion générale de suite extraite est hors programme. |
Opérations sur les limites. | |
Résultats fondamentaux sur les limites et inégalités : • Signe d’une suite de limite non nulle. • Passage à la limite dans une inégalité large. • Théorème d’encadrement, dit « des gendarmes », et extension aux limites infinies. | |
Théorème de la limite monotone. | Toute suite réelle monotone admet une limite finie ou infinie. |
Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes. | |
Exemples d’étude de suites du type $u_{n+1} = f(u_n)$. | Un plan d’étude détaillé sera toujours proposé. Il pourra commencer par la détermination d’un intervalle stable. Aucun théorème général relatif à ce type de suites n’est exigible des étudiants. L’étude numérique (par itération) et graphique sont présentées comme outils d’étude et de formation de conjectures. L’objectif est alors l’étude de la monotonie et de la convergence de telles suites dans les cas simples de fonctions $f$ monotones. |
Croissances comparées entre les suites factorielle, puissance ($n^\alpha$ avec $\alpha > 0$), géométriques ($a^n$ avec $a > 1$). | |
Suites équivalentes, notation $u_n \sim v_n$. L’équivalence est compatible avec la multiplication, la division et l’élévation à une puissance constante. Utilisation des équivalents pour la recherche de limites. | Le développement sur les équivalents doit être modeste et se limiter aux suites dont le terme général ne s’annule pas à partir d’un certain rang. |
exo7 560
On considère la suite réelle définie par : \[x_0=1 \quad\mbox{et} \quad x_{n+1}= \sqrt{2x_n+1}.\]
exo7 561
En utilisant les méthodes de l’exercice précédent, étudier les suites définies par : ...
exo7 562
Soit une suite qui vérifie une relation de récurrence ...
exo7 5620
Soit \(A_n= \left( \begin{array}{cc} 1&-\frac{a}{n}\\ \frac{a}{n}&1 \end{array} \right)\) ( ...
exo7 563
Posons \(u_2=1-\frac{1}{2^2}\) et pour tout entier \(n\geq 3\), ...
exo7 564
Calculer, lorsqu’elles convergent, les limites des suites
définies par
:
\(u_n=n-\sqrt{n^2-n}\) ...
exo7 565
Montrer que les suites définies pour \(n\geq1\) par :
...
exo7 566
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite de nombres réels définie en posant ...
exo7 567
Etudier la limite des suites suivantes : \(a_n=\cos{(\dfrac{2^n}{n!})}\); ...
exo7 568
Déterminer les limites lorsque \(n\) tend vers l’infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser ...
exo7 5688
Nature de la série de terme général
exo7 5689
Nature de la série de terme général
1) (***) \(\sqrt[4]{n^4+2n^2}-\sqrt[3]{P(n)}\) où ...
exo7 569
Soit \(a>0\). On définit la suite \((u_n)_{n\geq 0}\) par ...
exo7 5692
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle que la série de terme ...
exo7 5693
Soit \(\sigma\) une injection de \(\Nn^*\) dans lui-même. Montrer que la série de ...
exo7 5694
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs. Montrer que les séries de termes généraux ...
exo7 5696
Nature de la série de terme général \(u_n=\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right)\).
exo7 5698
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels positifs. Trouver la nature de la série de terme général ...
exo7 570
On considère les deux suites : \[u_n =1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\ ;\ n\in\N,\] ...
exo7 571
Soient \(a\) et \(b\) deux réels, \(a<b\). On ...
exo7 572
Soient \(a,b > 0\). Montrer que \(\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}\).
exo7 573
Soit \(x\) un réel.
exo7 5732
Etudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) les séries de fonctions de termes généraux :
exo7 574
Soit \(n \geq 1\).
exo7 575
Calculer suivant les valeurs de \(x\) : ...
exo7 576
Soient \(a_0\) et \(b_0\) deux réels fixés. On définit par récurrence les suites ...
exo7 577
Soit \((u_n)\) une suite qui tend vers \(0\). On pose ...
exo7 578
Déterminer les limites de \(\dfrac{n^{\ln (n)}}{\ln^n (n)}\) et \(\sqrt[n]{n^2}\) ...
exo7 579
Soit \((u_{n})_{n\in \Nn\text{ }}\) une suite réelle dont tous les termes sont non nuls et telle que : ...
exo7 580
Étudier la suite définie par récurrence : \[u_{0}=a>0,u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}.}\]
exo7 581
Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn^{*}}\) définie par : ...
exo7 582
Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...
exo7 583
Soit \(\phi :\Nn\rightarrow \Nn\) bijective, telle que ...
exo7 584
Soit \(\phi :\Nn\rightarrow \Nn\) injective; montrer que ...
exo7 585
Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite bornée. On pose \(v_{n}=u_{n+1}-u_{n}\) et ...
exo7 586
Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite réelle convergeant vers \(\ell\) et ...
exo7 5864
Déterminer ...
exo7 587
Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites réelles telle ...
exo7 588
Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites réelles telle ...
exo7 589
Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites à valeurs dan ...
exo7 590
Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites convergeant r ...
exo7 591
Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite bornée telle que : ...
exo7 592
Soit \(f:\Cc\rightarrow \Cc\) définie par : ...
exo7 5922
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on définit \(f_{n}~:]0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) pa ...
exo7 594
Montrer que si \(\forall n \in \Nn\) \(u_n \neq 0\) et si ...
exo7 596
Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites réelles de li ...
exo7 598
Étude de \((u_{n})_{n\in \Nn }\) définie par : ...
exo7 5982
Soit \(x\) un réel.
exo7 599
Montrer la réciproque du théorème de Césaro (i.e. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n}=l\)) :
exo7 5995
Un professeur oublie fréquemment ses clés. Pour tout \(n\), on note : \(E_n\) l’é ...