Programme de mathématiques BCPST, seconde année
a) Éléments propres
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d’un endomorphisme. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d’une matrice carrée. | On appelle spectre de l’endomorphisme $f$ (respectivement de la matrice $A$) l’ensemble des valeurs propres de $f$ (respectivement de $A$). En dimension finie, on fait le lien entre les éléments propres d’un endomorphisme et ceux d’une matrice qui le représente dans une base. |
Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont les éléments diagonaux de cette matrice. |
exo7 1657
Soit \(\rho\) l’application de \(\R _4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1658
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la matrice dans la base ca ...
exo7 1660
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1662
Soient \(A\in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(\text{tr}(A)\not= 0\) et ...
exo7 1663
Montrer que si le polynôme minimal d’un endomorphisme \(f\) d’un \(K\)-espace vec ...
exo7 1664
Étudier le caractère diagonalisable des matrices suivantes
exo7 1668
On considère la matrice par blocs ...
exo7 1669
On désigne par \(E\) l’espace vectoriel des polynôme s à coefficients réels, et par ...
exo7 1670
Pour tout élément non nul \(a=(a_1, a_2, \ldots ,a_n)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on ...
exo7 1672
On considère l’endomorphisme \(a\) de \(E=\Rr^2\) dont la matrice représentative ...
exo7 1673
Soit \(K\) un corps commutatif quelconque, et soit \(F=\mathcal{M}_n(K)\) l’espac ...
exo7 1674
Soit \(\theta\in]0,\pi[\). On considère les deux matrices d’ordre \(n\):
...
exo7 1677
Soient \(f\in\mathcal{L}(E)\) et \(a\in E.\)
exo7 1681
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) et soient \(\lambda_1,...,\lambda_n\) ses valeurs ...
exo7 1685
Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1687
Mettre sous forme triangulaire les matrices suivantes : ...
exo7 1691
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1695
Soit \(\rho\) l’application de \(\R_4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1701
Soient \(n\in\Nn\setminus\left\{0\right\}\) et \(f\) l’endomorphisme de l’espace ...
exo7 1705
Déterminer toutes les suites \((u_{n})\) telles que : ...
exo7 1707
Réduire la matrice \[A= \begin{pmatrix} 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1&-3& 4 \end{pmatrix}\] ...
exo7 1710
Donner toutes les suites \((x_{n})\), \((y_{n})\) et ...
exo7 1712
On considère la matrice ...
exo7 1714
Soit la matrice ...
exo7 1719
Soit \(M\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur ...
exo7 1724
Soient \((x_n)_{n \in \N } ,\) \((y_n)_{n \in \N }\) et ...
exo7 1728
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient ...
exo7 1899
Soit \(A\in M_n(\Cc )\). Montrer quil existe une suite de matrices ...
exo7 2236
Soit \(A\) une matrice hermitienne inversible décomposée en \(A=M-N\) où ...
exo7 2467
Donner les valeurs propres, vecteurs propres et matrice de diagonalisation éventuelle des matrices suivantes dans ...
exo7 2468
Soit \(\mathbb K\) le corps des réels ou des complexes, et \(u\) l’endomorphisme ...
exo7 2469
Soit \(a,b,c\) trois réels et \(u\) l’endomorphisme de ...
exo7 2470
Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal M_n(\C)\) ; on suppose qu’il existe un entie ...
exo7 2471
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur un corps ...
exo7 2473
Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 2474
Soit \(A, B\) deux matrices carrées d’ordre \(n\) à coefficients complexes qui co ...
exo7 2476
Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 2479
On considère la matrice \(N\times N\) ...
exo7 2563
Soit \(M\) la matrice réelle \(3\times3\) suivante : ...
exo7 2566
Soit \[A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 1&-1&2\end{pmatrix}\] Démontrer que ...
exo7 2567
Soit \[A=\begin{pmatrix}1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&1\end{pmatrix}\] Factoriser le polynôme ca ...
exo7 2568
Soit \[A=\begin{pmatrix}a&c \\ c&d\end{pmatrix}\in M_2(\R)\] Démontrer que ...
exo7 2570
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\). On suppose que ...
exo7 2571
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) vérifiant ...
exo7 2573
(7 points) On considère la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par ...
exo7 2575
(4 points) On suppose qu’une population \(x\) de lapins et une population ...
exo7 2576
(9 points) Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la ...
exo7 2579
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) ( ...
exo7 2580
Soit \(M\) la matrice de \(\R^4\) suivante ...
exo7 2581
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice dans la base canonique est ...