Parcourir les exercices

Reconnaître les endomorphismes de \(\R^3\) définis par les expressions analytiques dans la base canonique :

Déterminer la matrice de la rotation \(\cal R\) de \(\R^3\) dans une base orthono ...

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) à coefficients strictement positifs. Déterminer la signature de la forme quadratiqu ...

Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie et ...

Soit \(A = (a_{ij})\in\mathcal{M}_n(\R)\) symétrique. On dit que \(A\) est à diag ...

Soit \({f_1,\dots,f_n} : I \to \R\) des fonctions continues de carrés intégrables sur l’intervalle  ...

Soit \(A = (a_{i,j})\in \mathcal{M}_n(\R)\) à coefficients tous non nuls. On note ...

Soit \(S\) une matrice carrée d’ordre \(n\), à coefficients réels, symétrique déf ...

Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...

Soit \(\vec v \in E\setminus\{\vec0\}\) et \(\lambda \in \R\). On pose pour ...

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...

Quels sont-ils ?

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...

Soit \(M \in {\cal O}(n)\).

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\).

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...

\(E = \mathcal{M}_n(\R)\) muni du produit scalaire : ...

Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) égales à leur comatrice ?

Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que : ...

Soit \(P \in {\cal O}(n)\). A l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer que : ...

Soit \(G\) un sous groupe compact de \(GL_n(\C)\). Si ...

Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie et ...

\({\cal O}_n(\Q)\) est-il dense dans \({\cal O}_n(\R)\) ?

On considère l’endomorphisme de \(\R^3\) de matrice dans la base canonique : ...

Soit \({\cal B} = (\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) une base non orthonormée de \(E\), ...

Soit \(u : E \to E\) telle que : ...

Diagonaliser dans une base orthonormée :

Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\) et \(M = (a_ia_j) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montre ...

Soit \(\varphi\) l’endomorphisme de matrice dans la base canonique de \(\R^4\) : ...

Soit \(E = \R_n[x]\). On pose pour ...

Pour \(P,Q \in \R_n[X]\) on pose ...

Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint. Montrer que ...

Soient \(u,v \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoints. Montrer que \(u\circ v\) est aut ...

Soient \(p,q\) deux projecteurs orthogonaux.

Quels sont les endomorphismes de \(E\) à la fois auto-adjoints et orthogonaux ?

Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) antisymétrique et \(f\) l’endomorphisme de ...

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique définie positive. Montrer qu’il existe une unique matrice ...

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montrer que \(A\) est symétrique définie positi ...

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique. Pour \(1 \le p \le n\), on note ...

Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique de valeurs propres ...