Programme de mathématiques MP, MPI
g) Polynômes d’un endomorphisme, d’une matrice carrée
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Pour $u$ dans $\mathscr{L}(E)$, morphisme d’algèbres $P\mapsto P(u)$ de $\mathbb{K}[X]$ dans $\mathscr{L}(E)$. Le noyau de ce morphisme est l’idéal annulateur de $u$. Son image est la sous-algèbre commutative $\mathbb{K}[u]$ de $\mathscr{L}(E)$. | Traduction matricielle. |
Polynôme minimal d’un endomorphisme d’un espace de dimension finie, d’une matrice carrée. | Le polynôme minimal est unitaire. Notations $\pi_u,\mu_u,\pi_M,\mu_M$. |
Si $d$ est le degré du polynôme minimal de $u$, alors la famille $(u^k)_{0\leqslant k\leqslant d-1}$ est une base de $\mathbb{K}[u]$. | |
Si $P$ annule $u$, toute valeur propre de $u$ est racine de $P$. | Si $u(x)=\lambda x$, alors $P(u)(x)=P(\lambda)x$. |
Les racines de $\pi_u$ dans $\mathbb{K}$ sont les valeurs propres de $u$. |
exo7 1703
Soit \(A\in\mathcal{M}_{3}(\R)\) la matrice ...
exo7 1716
Calculer les puissances et l’exponentielle (\(e^M=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!}\)) des matrices suivantes : ...
exo7 1721
Soient \(f\in\mathcal{L}(E)\) un endomorphisme et \(a\in E\) tels que la famille ...
exo7 1722
Donner un exemple de deux matrices de \(\mathcal{M}_4(\Rr)\) ayant même polynôme caractéristique et même polynôme ...
exo7 1725
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1726
Etudier les solutions (suivant \(A\)) dans \(M_2 (\C )\) de l’équation ...
exo7 1727
Soit \(A\in M_n(\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1728
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient ...
exo7 2470
Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal M_n(\C)\) ; on suppose qu’il existe un entie ...
exo7 2472
Soient \(u, v\) deux endomorphismes d’un espace vectoriel complexe \(E\). On supp ...
exo7 2474
Soit \(A, B\) deux matrices carrées d’ordre \(n\) à coefficients complexes qui co ...
exo7 2569
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2573
(7 points) On considère la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par ...
exo7 2576
(9 points) Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la ...
exo7 2577
(7 points) Soient \(M\) et \(A\) deux matrices de ...
exo7 2586
I
Soit \(\alpha\in\R\) et \(A_\alpha\in M_3(\R)\) la matr ...
exo7 2594
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2596
Soit \(P(X)\) un polynôme de \(\C[X]\), soit ...
exo7 2599
Soit \(m\in\R\), et \(A\) la matrice ...
exo7 2610
Soit \(\alpha\in\R\) et \(A_\alpha\in M_3(\R)\) la matrice suivante ...
exo7 2615
Questions préliminaires :
exo7 3346
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3386
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). On suppose qu’il existe \(\lambda,\mu \in K\) e ...
exo7 3396
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &2 &3\cr 2 &3 &1\cr 3 &1 &2 \cr\end{pmatrix}\).
exo7 3513
Soient \(\alpha, \beta, \gamma \in K\) distincts, et ...
exo7 3523
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) et \(f : E \to E, u {\tilde u}\) avec ...
exo7 3533
Soit \(P = a_0 + a_1X + \dots + a_{n-1}X^{n-1} - X^n \in K_n[X]\). La matrice compagnon de ...
exo7 3535
Soient \(A,B\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer l’équivalence entre :
(a) : ...
exo7 3539
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie, ...
exo7 3542
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(A^2 = A\) et ...
exo7 3543
Soient \(E\) un ev de dimension finie sur \(\C\) et ...
exo7 3546
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que \(A = A^{-1}\). ...
exo7 3548
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3552
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^3 + A^2 + A = 0\). Montrer que ...
exo7 3555
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3556
Soit \(f\) un endomorphisme diagonalisable d’un ev \(E\) de dimension finie, ...
exo7 3560
Soient \(u,v,h\) trois endomorphismes de \(\R^n\) tels que : ...
exo7 3561
Soient \(K\subset L\) deux corps et \(A\in \mathcal{M}_n(K)\). On note ...
exo7 3562
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(K)\). Montrer que \(\chi_A\) et ...
exo7 3563
Caractériser les polynômes \(P\) tels que : \(\forall\ A\in\mathcal{M}_n(\C)\), ...
exo7 3565
Le polynôme \(X^{4}+X^{3}+2X^{2}+X+1\) peut-il être le polynôme minimal d’u ...
exo7 3566
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3568
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(u\in\mathcal{L}(E)\). On c ...
exo7 3572
Soient \(u,v\) deux endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\) non nul tels que ...
exo7 3574
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) (ev de dimension finie sur ...
exo7 3576
Soit \(\Phi : {\mathcal{M}_n(\C)}\to {\mathcal{M}_n(\C)}\) un automorphisme d’ev tel que : ...
exo7 3580
Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_{3}(\C)\) telles que \(A^3\) est se ...
exo7 3582
Montrer qu’une matrice compagnon est semblable à sa transposée. En déduire que pour toute \(M\in\mathcal{M}_n(K)\) ...
exo7 3586
Soit \(A \in \mathcal{M}_{3}(\R)\) ayant pour valeurs propres \(1,-2,2\), et ...
exo7 3588
Soit \(f\), endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\) de dimension ...