Parcourir les exercices

On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n!\,x^{2n+1}}{1.3.5\dots(2n+1)}\).

On note \(T_n\) le nombre de partitions d’un ensemble à \(n\) éléments.

Soit \((a_n)\) la suite réelle définie par : \(a_0 = 1\), ...

Pour \(|x| < 1\) on pose : \(Z(x) = \sum_{n=1}^\infty \zeta(2n)x^n\).

M ...

On note \(\zeta_i(n) = \sum_{k=0}^\infty \frac1{(2k+1)^n}\) et ...

Pour \(a,b\in\R\) avec \(b\not\equiv 0(\mathrm{mod}\,{\pi})\), vérifier l’identit ...

A l’aide d’un développement en série entière, montrer que ...

On admet que \(\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} = \frac{\pi^2}6\). Calculer ...

Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).

Montrer que pour \(x \in {]-1,1[}\) : ...

Montrer que la longueur d’une ellipse de demi-axes \(a,b\) est : ...

Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série de rayon \(R>0\). Montrer, ...

Soit \(f(z) = \sum a_nz^n\) une série de rayon \(R>0\) telle que pour tout ...

Soit \(P\in\C[X]\) ayant pour racines \(z_1,\dots,z_k\) de multiplicités ...

Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini. Montrer l’équivalence e ...

Soit \((a_n)\) une suite réelle avec \(a_0=0\) et ...

Soit \(A\) l’ensemble des suites \((a_n)\) de complexes telles que la série entiè ...

Soit \(z_1,\dots,z_p\in \C\), \(p_1,\dots,p_p \in \R^+\) tels que ...

Soit \(D\) le disque ouvert de \(\C\) de centre  ...

Développer en série entière \(f\) : \(z \mapsto z(1-z)^{-2}\). Montrer que ...

Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ |\sin x| = \frac8\pi\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2nx}{4n^2-1}\).

Soit \(f_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{\sin kx}k\).

Soit \(\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n\sin nx)\) une série trigonométrique convergeant uniformément sur un in ...

Soit \((a_n)\) une suite décroissante de limite nulle. Montrer que la série ...

Soit \(R\) une fraction rationnelle à coefficients complexes, de degré strictement négatif, n’ayant pas de pôle da ...

Soit \(f : \R \to \C\) de classe \(\mathcal{C}^1\). On suppose qu’il existe ...

Montrer que l’équation : \(y^{(4)}+y''+y = |\sin x|\) admet une et une seule solution ...

Développement asymptotique à la précision \(x^2\) en \(0\) de ...

Développement limité à l’ordre \(n\) en \(0\) de ...

On suppose que \(f\) est une fonction de classe \(C^1\) sur ...

Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.

Trouver un développement limité à l’ordre \(4\) quand \(n\) tend vers l’infini de ...

Convergence et somme de la série de terme général \(u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\), ...

Etudier les suites de fonctions suivantes (convergence simple, convergence uniforme, convergence localement uniforme)

Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...

Soit \((P_n)_{n\in\Nn}\) une suite de polynômes convergeant uniformément sur ...

Soit \(f(x) =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n\sin(nx)}{n}\).

Soit \(f(x) =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\ln(nx)}\).

Etudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) les séries de fonctions de termes généraux :

Montrer que pour tout réel \(a > 0\), ...

Pour \(n\in\Nn^*\), soit ...

Pour \(n\in\Nn^*\) et \(t\in\Rr\), soit ...

Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...

Montrer que \(\int_{0}^{1}x^{-x}\;dx =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}\) et ...

Montrer que ...

Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.

Calculer \(\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1+x^2}\;dx\) et ...

Montrer que pour \(x\) réel de \([0,1[\), ...

Montrer que pour tout réel \(x\), ...

Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants :