Programme de mathématiques MP, MPI
Topologie des espaces vectoriels normés
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
Les objectifs de cette section sont les suivants :
- introduire, dans le cadre des espaces vectoriels normés, le vocabulaire de la topologie ;
- donner, à travers l’étude des espaces vectoriels normés de dimension finie, un cadre commode pour traiter diverses applications à l’analyse (fonctions vectorielles, équations différentielles linéaires) ;
- introduire la notion de partie compacte dans un espace vectoriel normé, en soulignant le rôle qu’elle joue dans les résultats d’existence, notamment en matière d’optimisation ;
- introduire la notion de composante connexe par arcs d’un espace vectoriel normé, qui permet de généraliser le théorème des valeurs intermédiaires et intervient en calcul différentiel ;
- dégager l’idée fondamentale d’inégalité linéaire, qui apparaît lors de l’étude de la comparaison des normes et de la continuité des applications linéaires, et qui est quantifiée par la notion de norme d’opérateur.
Les notions seront illustrées par des exemples variés. On pourra ainsi travailler dans les espaces $\mathbb{K}^n$, les espaces de polynômes, d’applications linéaires ou de matrices, ainsi que dans divers espaces fonctionnels.
Il convient de souligner le contenu géométrique des notions abordées, notamment à l’aide de nombreuses figures. Lors de l’étude de la connexité par arcs, un dessin pertinent peut valoir preuve.
Les notions d’espace métrique et, a fortiori, d’espace topologique, sont hors programme. Il en est de même des notions de suite de Cauchy et d’espace de Banach.
Dans toute cette section, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Normes et espaces vectoriels normés 110
- b) Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé 76
- c) Comparaison des normes 32
- d) Topologie d’un espace normé 111
- e) Étude locale d’une application, continuité 131
- f) Applications linéaires et multilinéaires continues 76
- g) Parties compactes d’un espace normé 41
- h) Applications continues sur une partie compacte 28
- i) Connexité par arcs 9
- j) Espaces vectoriels normés de dimension finie 45
exo7 4839
Soit \(E\) un espace vectoriel normé, \(K\) un compact convexe de ...
exo7 4840
Soit \(E\) un evn de dimension infinie.
exo7 4842
Soit \(\mathbb{U}\) le cercle unité de \(\C\) et ...
exo7 4846
Soit \(E = \{ \text{fonctions lipchitziennes } f:\R \to \R \}\). Pour \(f \in E\) ...
exo7 4848
Soit \(E\) un evn complet et \((B_n(a_n,r_n))\) une suite décroissan ...
exo7 4849
Soit \(E = {\cal B}(\N,\R) = \{ \text{suites } u = (u_n) \text{ born{é}es}\}\). On munit ...
exo7 4852
Montrer qu’un plan euclidien n’est pas réunion de cercles disjoints non réduits à un point.
exo7 4855
Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe ...
exo7 4858
Soit \(f : {I\subset \R} \to {\R^2}\) une fonction continue, \(D\) une droite de ...
exo7 4871
Soit \({\cal E}\) un espace affine de dimension finie et ...
exo7 4886
Soit \(P = A_1A_2\dots A_n\) un polygone à \(n\) sommets : on lui associe le poly ...
exo7 4887
Soit \(P = A_1A_2\dots A_n\) un polygone à \(n\) sommets : on lui associe le poly ...
exo7 4888
Soient \(A_0,A_1,A_2\) trois points donnés. On considère la suite \((A_k)\) de po ...
exo7 492
Soient \(x=(x_1,\ldots,x_n)\) et \(y=(y_1,\ldots,y_n)\in\Rr^n\). On note ...
exo7 4948
Soient \({\cal T}_1\), \({\cal T}_2\) deux torseurs de sommes ...
exo7 4959
Soient \(A,B,C,D,E\) cinq points de l’espace et \(k \in \R\).
Déterminer l ...
exo7 500
Soit \(A\) une partie de \(\Rr\) vérifiant : ...
exo7 502
Soient \(A\) et \(B\) deux parties denses de ...
exo7 505
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) une suite de \(\R\). Que pensez-vous des propositions sui ...
exo7 506
Montrer que toute suite convergente est bornée.
exo7 5243
Soit \((u_n)=\left(\frac{p_n}{q_n}\right)\) avec \(p_n\in\Zz\) et ...
exo7 5387
Montrer que la fonction caractéristique de \(\Qq\) est discontinue en chacun de ses points.
exo7 5392
Soit \(A\) une partie non vide de \(\Rr\). Pour ...
exo7 5401
Soit \(f\) périodique et continue sur \(\Rr\). Montrer que ...
exo7 5553
Etudier l’existence et la valeur éventuelle d’une limite en \((0,0)\) des fonctions suivantes :
exo7 5620
Soit \(A_n= \left( \begin{array}{cc} 1&-\frac{a}{n}\\ \frac{a}{n}&1 \end{array} \right)\) ( ...
exo7 5777
Soit \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel muni d’une norme, notée ...
exo7 5839
Montrer que la boule unité d’un espace vectoriel normé est un convexe de cet espace.
exo7 5840
Inégalités de Hölder et de Minkowski. Soit ...
exo7 5841
Soit \(E = C^2([0,1],\Rr)\). Pour \(f\) élément de ...
exo7 5844
Soient \(A\) et \(B\) des parties d’un espace vecto ...
exo7 5845
Trouver une partie \(A\) de \(\Rr\) telle que les sept ensembles ...
exo7 5846
Soit \(E\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des fonctions continues sur ...
exo7 5847
Soit \(A\) une partie non vide d’un espace vectoriel normé \((E,\|\;\|)\).
...exo7 5848
Soient \((E,N_E)\) et \((F,N_F)\) deux espaces vectoriels normés. Soient ...
exo7 5849
Soit \(u\) une suite bornée d’un espace vectoriel normé de dimension finie ayant une unique valeur d’adhérence. Mo ...
exo7 5851
Soit \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\) une application uniformément continue sur \(\Rr\). ...
exo7 5854
On munit \(E=\Rr[X]\) de la norme \(\|\;\|_\infty\) définie par : ...
exo7 5855
On munit \(E =\ell^\infty(\Cc)\) le \(\Cc\)-espace vectoriel des suites bornées d ...
exo7 5856
On munit \(E=C^0([0,1],\Rr)\) de la norme \(1\) définie par ...
exo7 5857
On munit \(E=\mathcal{M}_n(\Rr)\) de la norme \(N\) définie par ...
exo7 5858
Déterminer ...
exo7 5859
Une norme sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) (\(n\geqslant2\)), est-elle nécessairement u ...
exo7 5860
Soit \(N\) une norme sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\).
Montrer qu’il existe ...
exo7 5861
Existe-t-il une norme \(N\) sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) ( ...
exo7 5862
On pose \(\forall X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\), ...
exo7 5863
Pour \(X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\), on pose ...
exo7 5864
Déterminer ...
exo7 5867
On munit \(\mathcal{M}_p(\Cc)\) d’une norme sous-multiplicative notée \(\|\;\|\). ...
exo7 5887
Etudier l’existence et la valeur éventuelle des limites suivantes :