Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
c) Familles de vecteurs
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Famille (partie) génératrice. | |
Famille (partie) libre, liée. | Ajout d’un vecteur à une famille (partie) libre. Liberté d’une famille de polynômes à degrés distincts. |
Base, coordonnées. | Bases canoniques de $\mathbb{K}^n$, $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$, $\mathbb{K}_n[X]$, $\mathbb{K}[X]$. Bases de polynômes à degrés échelonnés dans $\mathbb{K}[X]$ et $\mathbb{K}_n[X]$. |
exo7 3635
Soit \(E = K_n[X]\), \(Q \in E\) de degré \(n\) ...
exo7 3648
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3727
Soit \({f_1,\dots,f_n} : I \to \R\) des fonctions continues de carrés intégrables sur l’intervalle ...
exo7 429
Soit \((P_0, P_1, \ldots, P_n)\) une famille de polynômes de \(\mathbb{K}[X]\) te ...
exo7 4947
Soit \(ABCD\) un tétraèdre non aplati de l’espace. Pour \(X,Y \in \{A,B,C,D\}\) d ...
exo7 5167
Soit \(\Rr^\Nn\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des suites réelles (muni des opérati ...
exo7 5169
Montrer que \(a=(1,2,3)\) et \(b=(2,-1,1)\) engendrent le même sous espace de ...
exo7 5174
Soit ...
exo7 5179
Soit \(n\) un entier naturel. Montrer que si \(n\) n’est pas un carré parfait alo ...
exo7 5180
Dans \(E=\Rr^\Rr\), étudier la liberté des familles suivantes \(A\) de vecteurs d ...
exo7 5183
\(E\) désigne l’espace vectoriel \(\Rr^4\) (muni des opérations usuelles). On con ...
exo7 5193
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...
exo7 5322
Soit \(E\) la partie de \(\Cc[X]\) formée des polynômes ...
exo7 5339
Montrer que \((\frac{1}{X-a})_{a\in\Cc}\) est libre dans \(K(X)\).
exo7 5379
Soit \(E\) un ensemble contenant au moins \(n\) éléments et ...
exo7 5566
Les familles suivantes de \(\Rr^4\) sont-elles libres ou liées ? Fournir des relations de dépendance linéaire quan ...
exo7 5567
Montrer que \((1,\sqrt{2},\sqrt{3})\) est une famille libre du \(\Qq\)-espace vec ...
exo7 5568
Soit \(f(x) =\ln(1+x)\) pour \(x\) réel positif. Soient ...
exo7 5569
Soit \(f_a(x)=|x-a|\) pour \(a\) et \(x\) réels. ...
exo7 5570
On pose \(f_a(x)=e^{ax}\) pour \(a\) et \(x\) ré ...
exo7 5572
\(E=\Rr_n[X]\). Pour \(0\leqslant k\leqslant n\), on pose ...
exo7 5573
Soient \(a_0\),..., \(a_n\) \(n+1\) nombres comp ...
exo7 5584
Soient \(E\) un espace de dimension finie \(n\) non nulle et ...
exo7 5587
Soit \(E\) un espace vectoriel non nul. Soit \(f\) ...
exo7 5629
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(E=\Cc_n[X]\). Pour ...
exo7 6870
Soient \(v_1=(2,1,4)\), \(v_2=(1,-1,2)\) et ...
exo7 897
Soient dans \(\Rr^3\) les vecteurs \(\vec{v_1}(1,1,0)\), ...
exo7 898
Les familles suivantes sont-elles libres ?
exo7 899
On considère dans \(\Rr^n\) une famille de \(4\) vecteurs linéairement indépendan ...
exo7 902
Dans l’espace \(\mathbb{R}^4\), on se donne cinq vecteurs : \(V_1=(1,1,1,1)\), ...
exo7 904
Soient les vecteurs \(e_1=(1,2,3,4)\), \(e_2=(1,-2,3,-4)\) de ...
exo7 905
Soit \(E\) un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\) et ...
exo7 906
Dans \(\mathbb{R}^4\), comparer les sous-espaces \(F\) et ...
exo7 907
On suppose que \(v_1, v_2, v_3, \ldots,v_n\) sont des vecteurs indépendants de ...
exo7 908
Soit \(E\) le sous-espace vectoriel de \({\Rr}^3\) engendré par les vecteurs ...
exo7 909
Prouver que dans \({ \Rr}^{3}\), les vecteurs \(u_{1}=(2,3,-1)\) et ...
exo7 911
On définit les fonctions suivantes : ...
exo7 912
Dans \(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\), les trois fonctions ...
exo7 913
Soit \(E\) un \({ \Cc}\)-espace vectoriel et ...
exo7 915
Soient \(f (x) = \cos (x)\), \(g (x) = \cos (x) \cos (2x)\) et ...
exo7 916
Soit \(\alpha \in \Rr\) et soit \(f_{\alpha} : \Rr\rightarrow \Rr\) la fonction d ...
exo7 917
Soit \(\alpha \in \Rr\) et \(f_\alpha : \Rr \to \Rr\), ...
exo7 918
Montrer que les familles suivantes sont libres dans \({\Rr}^{{\Rr}},\) et ce quelque soit ...
exo7 924
Soient \(E\) un espace vectoriel, \(F\) et \(G\) ...
exo7 930
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 935
Soit \(E\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\). P ...
exo7 940
Soit \(E\) un espace vectoriel, et \(u\) une application linéaire de ...
exo7 958
Soit \(f\in L(E)\) où \(E\) est un \(K-\)espace ...
exo7 981
Montrer que les vecteurs \(v_1=(0,1,1)\), \(v_2=(1,0,1)\) et ...
exo7 984
Dans \(\mathbb{R}^4\) on considère l’ensemble \(E\) des vecteurs ...