Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Intégration
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Cette section a pour principal objectif de définir l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment et d’en établir les propriétés principales. Elle offre l’occasion de revenir sur les techniques de calcul intégral, mais aussi de traiter des exercices d’esprit plus théorique.
Les méthodes de calcul approché d’intégrales donnent l’occasion de revenir sur la problématique de l’approximation. On pourra ainsi comparer les performances de la méthode des rectangles et de celle des trapèzes.
La notion de continuité uniforme est introduite uniquement en vue de la construction de l’intégrale. L’étude systématique des fonctions uniformément continues n’est pas un attendu du programme.
Le corps $\mathbb{K}$ est pris égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Le professeur peut soit se placer d’emblée dans le cadre des fonctions à valeurs complexes, soit traiter en premier lieu le cas réel avant de procéder à une brève extension.
- a) Continuité uniforme 6
- b) Fonctions continues par morceaux 10
- c) Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment 366
- d) Sommes de Riemann 18
- e) Lien entre intégrale et primitive 43
- f) Formules de Taylor globales 14
exo7 5455
Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) telle que ...
exo7 5456
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues par morceaux et positives sur ...
exo7 5459
Déterminer les limites quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de
...
exo7 5460
Etude complète de \(F(x)=\int_{x}^{2x}\frac{dt}{\sqrt{t^4+t^2+1}}\).
exo7 5462
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5463
Déterminer les fonctions \(f\) continues sur \([0,1]\) vérifiant ...
exo7 5464
Déterminer \(\lim_{x\rightarrow 1}\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}\).
exo7 5465
Soit \(f(t)=\frac{t^2}{e^t-1}\) si \(t\neq0\) et ...
exo7 5467
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés : ...
exo7 5470
Calculer les intégrales suivantes (\(a\), \(b\) réels donnés, ...
exo7 5472
Etude de \(f(x)=\int_{-1}^{1}\frac{\sin x}{1-2t\cos x+t^2}\;dt\).
exo7 5473
Etude de \(f(x)=\int_{0}^{1}\mbox{Max}(x,t)\;dt\).
exo7 5474
Pour \(n\) entier naturel, on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\sin^nx\;dx\).
exo7 5475
Pour \(n\) entier naturel, on pose \(In=\int_{0}^{\pi/4}\tan^nx\;dx\).
exo7 5485
Sur \(\Rr[X]\), on pose \(P|Q=\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\;dt\). Existe-t-il ...
exo7 5499
Soit \(f\) continue strictement positive sur \([0,1]\). Pour ...
exo7 5574
Calculer pour \(p\) et \(q\) entiers naturels donnés les intégrales suivantes : ...
exo7 5674
\(E =C^0(\Rr,\Rr)\). Pour \(f\) élément de \(E\) ...
exo7 5713
Etudier l’existence des intégrales suivantes
| 1) (** ... |
exo7 5714
Etudier l’existence des intégrales suivantes.
| 1) (* ... |
exo7 5716
Existence et calcul de :
| 1) (** I) ... |
exo7 5717
Deux calculs de \(I =\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin x)\;dx\).
1) (** I) En utilisant ...
exo7 5718
En utilisant un développement de \(\frac{1}{1-t}\), calculer ...
exo7 5720
1) (** I) Trouver un équivalent simple quand \(x\) tend vers ...
exo7 5721
Etude complète de \(f~:~x\mapsto\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt\).
exo7 5722
(Hors programme) Convergence et calcul de \(\int_{1}^{+\infty}\frac{(-1)^{E(x)}}{x}\;dx\).
exo7 5723
Soit \(f\) définie, continue, positive et décroissante sur \([1,+\infty[\), intég ...
exo7 5724
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr^+\) à val ...
exo7 5725
Soit \(f\) de classe \(C^2\) sur \(\Rr\) à valeu ...
exo7 5733
Montrer que pour tout réel \(a > 0\), ...
exo7 5736
Pour \(x>0\), on pose \(f(x) =\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}\). Trouver un ...
exo7 5737
Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...
exo7 5738
Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...
exo7 5739
Montrer que \(\int_{0}^{1}x^{-x}\;dx =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}\) et ...
exo7 5741
Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.
exo7 5742
Calculer \(\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1+x^2}\;dx\) et ...
exo7 5743
Montrer que pour \(x\) réel de \([0,1[\), ...
exo7 5744
Montrer que pour tout réel \(x\), ...
exo7 5761
Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), on pose \(f(x) =\tan x\). ...
exo7 5766
Pour \(x\in\Rr\), on pose ...
exo7 5768
Existence et calcul de \(\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\ch(tx)\;dt\) (on admettra que ...
exo7 5769
Existence et calcul de \(\int_{0}^{1}\frac{t-1}{\ln t}t^x\;dt\).
exo7 5770
Montrer que pour tout réel \(x\) strictement positif, ...
exo7 5771
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur ...
exo7 5786
Montrer que la matrice de Hilbert ...
exo7 5856
On munit \(E=C^0([0,1],\Rr)\) de la norme \(1\) définie par ...
exo7 5885
Trouver toutes les applications \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\), continues sur \(\Rr\) ...
exo7 5886
Montrer que \(\forall x>0\), ...
exo7 5917
En utilisant la définition d’une fonction intégrable au sens de Riemann, montrer les propriétés suivantes :
exo7 5918
Montrer qu’une fonction monotone sur \([a,b]\) est Riemann-intégrable sur ...