Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
c) Systèmes linéaires
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Interprétation de l’ensemble des solutions d’un système homogène comme noyau d’une matrice. Rang d’un tel système, dimension de l’espace des solutions. | |
Le système $AX = B$ est compatible si et seulement si $B$ appartient à l’image de $A$. | Structure affine de l’ensemble des solutions. |
Si $A$ est carrée et inversible, le système $AX = B$ possède une unique solution. | Dans ce cas, le système est dit de Cramer. |
exo7 3409
Étudier l’existence de solutions du système :
...
exo7 3410
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3413
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3416
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3418
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3419
Soit \((S) \iff AX = B\) un système linéaire incompatible. Montrer que les lignes de ...
exo7 3420
Soient \(f,f_1,\dots,f_p\) des formes linéaires sur \(K^n\) linéairement indépend ...
exo7 3423
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\), \(n\) scalaires distincts et ...
exo7 3424
Trouver trois réels \(\alpha, \beta, \gamma\) tels que pour tout polynôme de degré ...
exo7 3434
On considère un système linéaire homogène : \((S) \iff AX = 0\), avec ...
exo7 3464
Chercher ...
exo7 3472
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), et \(B = {}^t\!AA\).
exo7 3506
Soit ...
exo7 3767
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\) et \(M = (a_ia_j) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montre ...
exo7 3808
Soit \(J = \begin{pmatrix}I_n&0\cr0&-I_p\cr\end{pmatrix}\), et ...
exo7 5375
Résoudre (en discutant en fonction des différents paramètres) les systèmes suivants :
...
exo7 5376
Donner une base du sous-espace vectoriel de \(\Rr^5\) défini par :
...
exo7 5377
Dans le plan, on donne \(n\) points \(A_1\), ... , ...
exo7 5378
Résoudre le système : \(x_1+x_2=0\), \(x_{k-1}+x_k+x_{k+1}=0\) pour ...
exo7 5380
Déteminer l’inverse de \(A=(a_{i,j})\) telle que \(a_{i,i+1}=a_{i,i-1}=1\) et ...
exo7 5381
Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...
exo7 5512
Trouver toutes les droites sécantes aux quatre droites \((D_1)\) \(x-1=y=0\), ...
exo7 5634
Rang du système de formes linéaires sur \(\Rr^4\)
...
exo7 5664
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 5684
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Cc)\) l’équation ...
exo7 6196
Soit \(K\) un convexe compact symétrique de \(\Rr^n\) contenant ...
exo7 6258
Soit \(E\) et \(F\) deux evn sur \(\Cc\). Une ap ...
exo7 7033
Soient \(a_1 ,...,a_n\) des points du plan complexe.
Déterminer à quelle(s) condition(s) il existe au moins ...
exo7 7080
On donne un nombre impair de points du plan \(M_1\), ...\(M_n\). Existe-t-il un p ...
exo7 7419
Soit l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\).
exo7 7492
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 7494
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 7809
On considère la forme symplectique sur \(\Rr^{2n}\) donnée par ...
exo7 895
Montrer que \(\left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 /x + y + z = 0 \text{ et } 2x-y + 3z = 0\right\}\) est un sous-espace ve ...
exo7 898
Les familles suivantes sont-elles libres ?
exo7 904
Soient les vecteurs \(e_1=(1,2,3,4)\), \(e_2=(1,-2,3,-4)\) de ...
exo7 997
Soit \((\Sigma )\) le système d’équations linéaires : ...
Résolution d'un système linéaire
Soit la matrice ...
Résolution de système linéaire
Résoudre le système : ...
Système linéaire paramétré
Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\). On considère le système linéaire : ...
Système linéaire à paramètre
Soit ...
Systèmes à paramètre
Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de \(\lambda\) les systèmes suivants sont de Cramer. Résoudre alors les systèm ...