Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Polynômes et fractions rationnelles
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L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et fractions rationnelles. Il s’agit d’objets particulièrement riches, dont l’étude interagit avec beaucoup de thèmes abordés pendant le semestre. Par exemple :
- l’étude des équations algébriques enrichit le calcul algébrique et suggère des problèmes de localisation des racines, mettant en jeu des techniques analytiques dans le cas réel, plus géométriques dans le cas complexe ;
- l’interpolation de Lagrange permet de reconstituer un polynôme en fonction de ses valeurs en suffisamment de points et donne lieu à des problèmes issus de la théorie de l’approximation (majoration de l’erreur d’interpolation).
L’arithmétique de $\mathbb{K}[X]$ est développée selon le plan déjà utilisé pour l’arithmétique de $\mathbb{Z}$, ce qui autorise un exposé allégé. Le programme se limite au cas où le corps de base $\mathbb{K}$ est égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Anneau des polynômes à une indéterminée 95
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Arithmétique dans $\mathbb{K}[X]$ 74
- f) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 82
- g) Formule d’interpolation de Lagrange 13
- h) Fractions rationnelles 39
- i) Décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}$ 70
exo7 4561
On note \(R\) l’ensemble des fractions rationnelles continues sur \([0,1]\) et po ...
exo7 4562
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 457
Soit \(p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i\). On suppose que tous les \(a_i\) son ...
exo7 4585
Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)
exo7 4586
Rayon et somme de \(\sum P(n)x^n\) où \(P\) est un polynôme de degré ...
exo7 4598
En utilisant la relation : \(\tan' = 1 + \tan^2\), exprimer \(\tan^{(n)}\) en ...
exo7 4615
Soit \(P\in\C[X]\) ayant pour racines \(z_1,\dots,z_k\) de multiplicités ...
exo7 4654
Soit \(R\) une fraction rationnelle à coefficients complexes, de degré strictement négatif, n’ayant pas de pôle da ...
exo7 480
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\), \(f(x) = x^3-3x\). Tracer les graphes des fonct ...
exo7 4801
Soit \(P\in\C[X]\) et \(U\) un ouvert de \(\C\) ...
exo7 490
Résoudre l’équation \(\sqrt[4]{41+x}+\sqrt[4]{41-x}=4\), \(x\) étant un réel posi ...
exo7 4952
Pour \(\lambda \in \R\) on considère la droite \(D_\lambda\) d’équation cartésien ...
exo7 5073
On veut calculer \(S=\tan9^\circ-\tan27^\circ-\tan63^\circ+\tan81^\circ\).
exo7 5096
Résoudre dans \(\Rr\) les équations suivantes :
exo7 5108
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\Nn^*\), ...
exo7 5143
Calculer les sommes suivantes :
exo7 5150
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), \(a_2\),..., ...
exo7 5186
Soit \(E=\Rr_n[X]\), le \(\Rr\)-espace vectoriel des polynômes à coefficients rée ...
exo7 5308
Soit \(u_n=10...01_2\).(\(n\) chiffres égaux à ...
exo7 5313
Calculer \(a_n=\prod_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{n}\), ...
exo7 5314
On pose \(\omega_k=e^{2ik\pi/n}\) et \(Q=1+2X+...+nX^{n-1}\). Calculer ...
exo7 5315
Montrer que \(\sum_{k=0}^{n-1}\cotan^2(\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n})= n(n-1)\). (Indication. Poser ...
exo7 5316
Soient \(p\) un entier naturel et \(a\) un réel. Donner le développement de ...
exo7 5317
Déterminer le PGCD de \(X^6-7X^4+8X^3-7X+7\) et \(3X^5-7X^3+3X^2-7\).
exo7 5318
Pour quelles valeurs de l’entier naturel \(n\) le polynôme \((X+1)^n-X^n-1\) est- ...
exo7 5319
Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels tel que ...
exo7 5320
Soit \(P\) un polynôme différent de \(X\). Montrer que ...
exo7 5321
Soit \(P\) un polynôme à coefficients entiers relatifs de degré supérieur ou égal à ...
exo7 5322
Soit \(E\) la partie de \(\Cc[X]\) formée des polynômes ...
exo7 5323
Division euclidienne de \(P=\sin aX^n-\sin(na)X+\sin((n-1)a)\) par ...
exo7 5324
Soit \(P\in\Cc[X]\) de degré supérieur ou égal à \(1\). Montrer que les racines d ...
exo7 5325
Trouver tous les polynômes divisibles par leur dérivée.
exo7 5326
Trouver un polynôme de degré \(5\) tel que \(P(X)+10\) soit divisible par ...
exo7 5327
Trouver les polynômes \(P\) de \(\Rr[X]\) vérifiant ...
exo7 5328
Déterminer \(a\in\Cc\) tel que \(P=X^5-209X+a\) admette deux zéros dont le produi ...
exo7 5329
Soit \((a_k)_{1\leq k\leq 5}\) la famille des racines de \(P=X^5+2X^4-X-1\). Calc ...
exo7 5330
Résoudre dans \(\Cc^3\) (resp. \(\Cc^4\)) le système :
...
exo7 5331
Trouver tous les polynômes \(P\) vérifiant \(P(2X)=P'(X)P''(X)\).
exo7 5332
Factoriser dans \(\Cc[X]\) le polynôme \(12X^4+X^3+15X^2-20X+4\).
exo7 5333
Soit \(n\in\Nn^*\). Montrer que \((X-1)^{2n}-X^{2n}+2X-1\) est divisible par ...
exo7 5334
Déterminer deux polynômes \(U\) et \(V\) vérifiant ...
exo7 5335
Décomposer en éléments simples dans \(C(X)\) les fractions rationnelles suivantes
...
exo7 5336
Décomposer en éléments simples dans \(C(X)\) les fractions rationnelles suivantes
...
exo7 5337
Soit \(U_n\) l’ensemble des racines \(n\)-ièmes de l’unité dans ...
exo7 5338
Soit \(F=\frac{P}{Q}\) où \(P\) et \(Q\) sont de ...
exo7 5339
Montrer que \((\frac{1}{X-a})_{a\in\Cc}\) est libre dans \(K(X)\).
exo7 5340
Calculer la dérivée \(n\)-ième de \(\frac{1}{X^2+1}\).
exo7 5341
On pose \(P=a(X-x_1) ... (X-x_n)\) où les \(x_i\) sont des complexes non nécessai ...
exo7 5342
Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans \(\Rr[X]\) le polynôme ...
exo7 5343
Soit \(P=\) où \(n\) est un entier naturel non ...