Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
b) Structure de groupe
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Groupe. | Notation $x^n$ dans un groupe multiplicatif, $nx$ dans un groupe additif. Exemples usuels : groupes additifs $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, groupes multiplicatifs $\mathbb{Q}^*$, $\mathbb{Q}_+^*$, $\mathbb{R}^*$, $\mathbb{R}_+^*$, $\mathbb{C}^*$, $\mathbb{U}$, $\mathbb{U}_n$. |
Groupe des permutations d’un ensemble. Groupe produit. Sous-groupe : définition, caractérisation. Morphisme de groupes. Image et image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme. | Notation $S_X$. |
Image et noyau d’un morphisme. Condition d’injectivité. Isomorphisme. | Notations $\operatorname{Im} f$, $\operatorname{Ker} f$. |
exo7 1060
Soit ...
exo7 1303
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral du plan.
exo7 1305
Montrer que les transformations géométriques qui conservent globalement un rectangle forment un groupe. Faire l’étude de ce groupe.
exo7 1306
Étudier le groupe des isométries du carré.
exo7 1307
Une permutation de l’ensemble de \(n\) éléments \(\{1,2,\ldots,n\}\) est une bije ...
exo7 1308
Soient les quatre fonctions de \(\Rr^*\) dans \(\Rr^*\) ...
exo7 1309
Montrer qu’il existe une seule table possible pour un groupe d’ordre \(3\). Est-ce vrai pour ...
exo7 1310
Montrer que si \(X\) contient au moins trois éléments alors \(\sigma (X)\) n’est ...
exo7 1311
Les ensembles suivants, pour les lois considérées, sont-ils des groupes ?
exo7 1312
Soit \(K=\left\{\text{Id}, f_1,f_2,f_3\right\}\) où \(f_1,\) ...
exo7 1313
Soit l’ensemble ...
exo7 1314
Pour la multiplication usuelles des matrices carrées, les ensembles suivants sont-ils des groupes : ...
exo7 1315
Soit \(G\) un ensemble muni d’une loi de composition interne associative, admettant un élément neutre à droite et ...
exo7 1316
Soient \((G,.)\) un groupe et \(a,b\in G.\) On suppose que ...
exo7 1317
L’ensemble \(\Rr\setminus\left\{-1\right\}\) muni de la loi \(\star\) définie par ...
exo7 1318
Soient \((G, \star)\) et \((H, \triangle)\) deux groupes. On définit sur ...
exo7 1319
Montrer que si \(H\) et \(K\) sont des sous-groupes de ...
exo7 1320
Si \(G\) est un groupe, on appelle centre de \(G\) et on note ...
exo7 1322
L’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}\) avec ...
exo7 1323
Soit \(G\) un groupe, \(H\) et \(K\) deux sous-g ...
exo7 1324
Déterminer le sous-groupe de \(\Zz\) engendré par les entiers 24, 36 et \(-54.\) ...
exo7 1325
Les questions sont indépendantes. Soit \(j\) le nombre complexe ...
exo7 1326
Soit \(G\) un groupe engendré par \(a\) et ...
exo7 1327
Soit \(G\) un sous-groupe de \((\Rr,+)\) avec ...
exo7 1328
Soit \(G\) un groupe. Montrer que l’ensemble \(Aut(G)\) des automorphismes de ...
exo7 1329
Soit \(E\) un ensemble muni d’une loi interne \(\star\). On appelle translation à ...
exo7 133
Soit un ensemble \(E\) et deux parties \(A\) et ...
exo7 1330
Si \(K\) est un sous-groupe de \(H\) et \(H\) un ...
exo7 1331
Soit \((G,.)\) un groupe. Montrer l’équivalence de:
exo7 1332
Les ensembles \(\Nn,\Zz,\Rr, \Rr_{+}, \Rr_{+}^{*}, \Cc, \Cc^{*}\) munis des lois ...
exo7 1333
Quel est le plus petit sous-groupe de \((\Rr,+)\) (resp. de \((\Rr^*,\times)\)) c ...
exo7 1334
Soit \(\lambda\in\Cc\) fixé. Montrer que ...
exo7 1335
On appelle ordre d’un élément d’un groupe fini \((G,\ast)\) l’ordre du sous-groupe engendré dans ...
exo7 1336
Soit \(H\) un groupe abélien. Un élément \(x\in H\) est dit d’ordre fini lorsque ...
exo7 1337
Soit \(G\) un groupe, \(e\) son élément neutre. Un élément ...
exo7 1338
Soit le groupe \(G=\Zz/12\Zz\).
exo7 1340
Soient \(G\) un groupe et \(x\in G\) un élément d’ordre ...
exo7 1341
Soient \(G\) un groupe et \(x, y\in G\) des éléments qui commutent et d’ordres re ...
exo7 1343
Décrire tous les homomorphismes de groupes de \({\Zz}\) dans \({\Zz}\). Détermine ...
exo7 1344
Pour tout couple \((a,b)\) de \(\Rr^2\), on pose la matrice ...
exo7 1345
Soit \(f:{\Rr}\rightarrow {\Cc}^*\) l’application qui à tout \(x\in {\Rr}\) assoc ...
exo7 1346
Traduire en termes d’homomorphisme de groupes les propriétés traditionnelles suivantes :
exo7 1347
Pour tout couple \((a,b)\) de \(\Rr^2\), on pose ...
exo7 1348
Soit \(G\) un groupe. Montrer que l’application \(x\rightarrow x^{-1}\) est un mo ...
exo7 1349
Montrer que les groupes \((\R ,+)\) et \((\R ^*_+ ,\times )\) sont isomorphes. ...
exo7 1350
Montrer que \(\mathbb{U}_2 \times \mathbb{U}_3\) est isomorphe à \(\mathbb{U}_6\) ...
exo7 1351
Soit \(G\) un groupe.
exo7 1352
Soit \((G,.)\) un groupe. On appelle conjugaison par \(a\in G\), l’application ...
exo7 1353
Les sous-groupes \((\Q,+)\) et \((\Zz,+)\) sont-ils isomorphes ?
exo7 1354
Montrer que les groupes multiplicatifs \(\Rr\setminus\left\{0\right\}\) et ...