Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
a) Généralités
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Application linéaire. | |
Opérations sur les applications linéaires : combinaison linéaire, composition. Isomorphisme, réciproque. | Espace vectoriel $\mathscr{L}(E,F)$ des applications linéaires de $E$ dans $F$. Bilinéarité de la composition. |
Image directe et image réciproque d’un sous-espace par une application linéaire. | |
Image d’une application linéaire. | Notation $\operatorname{Im}u$. |
Noyau d’une application linéaire. Si $(x_i)_{i\in I}$ est une famille finie génératrice de $E$ et si $u\in\mathscr{L}(E,F)$, alors $\operatorname{Im}u=\operatorname{Vect}(u(x_i))_{i\in I}$. | Notation $\operatorname{Ker}u$. Caractérisation de l’injectivité. |
Application linéaire de rang fini. Le rang de $v\circ u$ est majoré par $\min(\operatorname{rg}(u),\operatorname{rg}(v))$. Invariance du rang par composition par un isomorphisme. | Notation $\operatorname{rg}(u)$. |
Classification linéaire par un perceptron
Expliquer à l’aide d’un graphique ce que réalise le réseau de neurones suivant :
exo7 1026
Soit \(E\) de dimension finie et \(f \in \mathcal{L} (E)\). Montrer l’équivalence ...
exo7 1033
Donner un exemple d’endomorphisme d’un espace vectoriel injectif et non surjectif, puis d’un endomorphisme surjectif et non injectif.
exo7 1088
Soit \({\Rr}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
exo7 1089
Soient \(A=\begin{pmatrix}-1 & 2 \cr 1 & 0 \cr \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1091
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(\varphi \in \mathcal{L} (E) .\)
exo7 1093
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f\) une applica ...
exo7 1094
Soit \(f\) l’application de \(\Rr_n[X]\) dans ...
exo7 1095
Soit \((e_1,e_2,e_3)\) une base de l’espace \(E\) à trois dimensions sur un corps ...
exo7 1098
Soit \(M_{\alpha , \beta }\) la matrice : ...
exo7 1106
Soient \(A = \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1107
On considère l’espace \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\) des matrices carrées ...
exo7 1108
On note \(\R_{n}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 1109
Dans chacun des cas ci-dessous, dire si l’application \(\phi\) de ...
exo7 1151
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie \(n\) et ...
exo7 1174
On considère l’application \(f\) de \(\mathbb{R}^5\) dans ...
exo7 1355
Soient \(a,b\in\Cc\). L’application \(f:\Cc\to\Cc,z\mapsto iz-\overline{z}\) est- ...
exo7 1471
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f:E\rightarrow E\) tel que ...
exo7 1519
On considère l’application suivante : ...
exo7 1523
Soit \(f\in\mathrm{End}(\R^{3})\) tel que \(f^{2}=0\). Montrer qu’il existe ...
exo7 1610
On considère l’application suivante : ...
exo7 1612
Soient trois vecteurs \(e_1,\) \(e_2,\) \(e_3\) ...
exo7 1624
Soit \(u\) l’application suivante : ...
exo7 1631
Soit \(P_{0}\) un polynôme de \(\R_{n}[X]\), et ...
exo7 1637
On considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)\) et l’application ...
exo7 1657
Soit \(\rho\) l’application de \(\R _4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1669
On désigne par \(E\) l’espace vectoriel des polynôme s à coefficients réels, et par ...
exo7 1683
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel, \(f\) et ...
exo7 1695
Soit \(\rho\) l’application de \(\R_4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1723
Soit le \(\Rr\)-espace vectoriel ...
exo7 1804
Soit \(a\in {\Rr}^{2}\) fixé ; l’application ...
exo7 1874
Soient \((E,\|\cdot\|_E)\) et \((F,\|\cdot\|_F)\) deux espaces vectoriels normés. ...
exo7 1875
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues de \([-1,1]\) à valeurs dan ...
exo7 1984
Soit \(E\) euclidien orienté de dimension 3 et \(a\in E\).
Soit ...
exo7 2002
Quelle est l’application ...
exo7 2037
On considère \(S_1\) la transformation du plan définie par le système d’équations suivant :
...
exo7 2038
Soit \(f\) la transformation de l’espace définie analytiquement par ...
exo7 2040
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\).
exo7 2363
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2365
Soit \(X = \Rr[x]\) l’ensemble des polynômes. Pour ...
exo7 2431
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des formes linéaires sur \(C^\infty(\R)\) : ...
exo7 2432
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des endomorphismes de \(C^\infty(\R)\) ( ...
exo7 2436
Soit \(e = (e_1, e_2, e_3)\) la base canonique de \(\R^3\) et ...
exo7 2473
Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 2476
Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 2498
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2564
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) ( ...
exo7 2585
Soient \(A\) et \(B\) des matrices non nulles de ...
exo7 2736
Les vecteurs complexes \((z, w)\) et \((z', w')\) sont liés par la formul ...
exo7 2741
Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb{R}^4\) dans ...