Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
exo7 5379
Soit \(E\) un ensemble contenant au moins \(n\) éléments et ...
exo7 5487
Soit \(a\) un vecteur non nul de l’espce euclidien \(\Rr^3\). On définit ...
exo7 5488
Matrice de la projection orthogonale sur la droite d’équations \(3x=6y=2z\) dans la base canonique orthonormée de ...
exo7 5489
\(E=\Rr^3\) euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe ...
exo7 5495
Soit \((e_1,...,e_n)\) une base quelconque de \(E\) euclidien. Soient ...
exo7 5507
Dans \(\Rr^3\) affine, déterminer le réel \(a\) pour que les droites ...
exo7 5508
Dans \(\Rr^3\), équation du plan \(P\) parallèle à la droite ...
exo7 5509
Dans \(\Rr^3\), soient \((D)\) ...
exo7 5548
Soit, dans \(\Rr^3\) rapporté à un repère orthonormé ...
exo7 5550
Soit \(P\) un polynôme de degré \(3\) à coefficients réels. Montrer que la courbe ...
exo7 5563
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels ...
exo7 5565
\(E=\Kk^n\) où \(\Kk\) est un sous-corps de ...
exo7 5566
Les familles suivantes de \(\Rr^4\) sont-elles libres ou liées ? Fournir des relations de dépendance linéaire quan ...
exo7 5567
Montrer que \((1,\sqrt{2},\sqrt{3})\) est une famille libre du \(\Qq\)-espace vec ...
exo7 5568
Soit \(f(x) =\ln(1+x)\) pour \(x\) réel positif. Soient ...
exo7 5569
Soit \(f_a(x)=|x-a|\) pour \(a\) et \(x\) réels. ...
exo7 5570
On pose \(f_a(x)=e^{ax}\) pour \(a\) et \(x\) ré ...
exo7 5572
\(E=\Rr_n[X]\). Pour \(0\leqslant k\leqslant n\), on pose ...
exo7 5573
Soient \(a_0\),..., \(a_n\) \(n+1\) nombres comp ...
exo7 5575
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimen ...
exo7 5576
Soient \(F\), \(G\) et ...
exo7 5577
Soient \(F_1\), \(F_2\),..., ...
exo7 5578
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 5579
Soient \((x_1,..,x_n)\) une famille de \(n\) vecteurs de rang ...
exo7 5580
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels de dimension finie et soient ...
exo7 5581
Soient \(E\), \(F\) et \(G\), trois ...
exo7 5582
Soient \(E\) un espace de dimension finie et \(F\) et ...
exo7 5583
Soient \(E\) un espace vectoriel non nul de dimension finie et \(f\) un endomorph ...
exo7 5584
Soient \(E\) un espace de dimension finie \(n\) non nulle et ...
exo7 5586
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 5587
Soit \(E\) un espace vectoriel non nul. Soit \(f\) ...
exo7 5589
Soient \(p\) et \(q\) deux projecteurs d’un ...
exo7 5590
Soit \(E\) un espace de dimension finie. Montrer que la trace d’un projecteur est s ...
exo7 5591
Soient \(p_1\),..., \(p_n\) ...
exo7 5592
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace de dimension finie ...
exo7 5593
Soit \(E\) un espace vectoriel. Soit \(G\) un sous-groupe fini de ...
exo7 5595
Soit \(G\) un sous-groupe de \(GL(E)\) avec ...
exo7 5597
Montrer que tout hyperplan de \(M_n(\Rr)\) contient des matrices inversibles.
exo7 5598
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 5599
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel non nul de dimension finie ...
exo7 5600
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Soient ...
exo7 5601
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\Kk\)-espaces vecto ...
exo7 5602
Soit \(E=\Kk_n[X]\). \(u\) est l’endomorphisme de ...
exo7 5608
Soient \(I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)\) et ...
exo7 5619
Soit \(f\) une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que ...
exo7 5621
Soient \(A\) une matrice carrée de format \(n\) et ...
exo7 5629
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(E=\Cc_n[X]\). Pour ...
exo7 5630
Sur \(E =\Rr_3[X]\), on pose pour tout \(P\in E\), ...
exo7 5631
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...