Programme de mathématiques PSI
d) Loi d’une variable aléatoire discrète
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Loi $P_X$ d’une variable aléatoire discrète. | La probabilité $P_X$ est déterminée par la distribution de probabilités $(P(X = x))_{x\in X(\Omega)}$. On note $X \sim Y$ lorsque les variables $X$ et $Y$ suivent la même loi, sans soulever de difficulté sur cette notation. |
Variable aléatoire $f(X)$. Si $X \sim Y$ alors $f(X) \sim f(Y)$. | On ne soulève aucune difficulté sur le fait que $f(X)$ est une variable aléatoire. |
Variable géométrique de paramètre $p \in \,]0,1[$ : $\forall k \in \mathbb{N}^*,\ P(X = k) = p(1-p)^{k-1}$. | Notation $X \sim \mathscr{G}(p)$. Relation $P(X > k) = (1-p)^k$. Interprétation comme rang du premier succès dans une suite illimitée d’épreuves de Bernoulli indépendantes et de même paramètre $p$. |
Variable de Poisson de paramètre $\lambda > 0$ : $\displaystyle \forall k \in \mathbb{N},\ P(X = k) = \mathrm{e}^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}.$ | Notation $X \sim \mathscr{P}(\lambda)$. Interprétation en termes d’événements rares. |
Couple de variables aléatoires discrètes. | Un couple de variables aléatoires est une variable aléatoire à valeurs dans un produit. Notation $P(X = x, Y = y)$. |
Loi conjointe, lois marginales. Loi conditionnelle de $Y$ sachant un événement $A$. | Extension aux $n$-uplets de variables aléatoires. |
Approximation par inégalité
Soit \(X\) le nombre d’avions arrivant en une heure sur un aéroport. On suppose que ...
Calcul par approximation
L’observation a permis d’affirmer que le nombre d’étudiants qui entrent à la bibliothèque entre 9h00 et 10h30 suit une loi de Poisson de paramètre ...
Deux approximations
Une machine produit des rondelles métalliques en grande série. Une rondelle est acceptée si son diamètre extérieur est compris entre ...
Fréquence d’arrivées logistiques
L’observation a permis d’affirmer que le nombre de camions de ravitaillement arrivant à un poste logistique entre 9h00 et 10h30 suit une loi de Poi ...
Identification de lois usuelles
Pour chacune des situations suivantes, déterminer la loi de la variable aléatoire \(X\) et donner son espérance. ...
Inégalités et loi de Poisson
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\) ...
Loi de Poisson
Soit \(\lambda >0\) et \(X\) suivant une loi de Poisson ...
Loi de Poisson
Une population de 80 personnes comporte en moyenne une personne mesurant plus de 1,90m. Soit une population ...
Loi de Poisson et TCL
On modélise le nombre d’unités militaires par heure circulant sur une route stratégique par une variable \(B\) sui ...
Loi exponentielle et loi géométrique
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de paramètre ...
Loi géométrique
On répète indépendamment une même expérience de Bernoulli, dont la probabilité de succès à chaque essai est ...
Loi géométrique
On note \(p \in ]0;1[\) et \(X\) une variable aléatoire suivant une loi géométriq ...
Lois de probabilité, simulation
La fonction random disponible dans les logiciels de calcul permet de générer des nombres aléatoires sur l’intervalle ...
Lois usuelles
Un standard téléphonique est, en moyenne, occupé 6 fois sur 10. Soit \(X\) le nombre de tentatives nécessaires pou ...
Problème de clés
Saturation d'un standard téléphonique
Une entreprise compte \(300\) employés. Chaque employé utilise son téléphone de manière aléatoire, en moyenne ...
Temps de transport
Une commune a lancé une étude concernant les problèmes liés au transport. Sur une ligne de bus, une enquête a permis de révéler que le retard (ou l ...