Texte officiel du programme
Cette section a pour principal objectif de définir l’intégrale d’une fonction continue sur un segment et d’en établir les propriétés principales. Elle offre l’occasion de revenir sur les techniques de calcul intégral, mais aussi de traiter des exercices d’esprit plus théorique.
Les méthodes de calcul approché d’intégrales donnent l’occasion de revenir sur la problématique de l’approximation. On pourra ainsi comparer les performances de la méthode des rectangles et de celle des trapèzes.
- a) Fonctions en escalier 1
- b) Intégrale d’une fonction continue sur un segment 366
- c) Sommes de Riemann 18
- d) Lien entre intégrale et primitive 43
- e) Inégalité de Taylor-Lagrange 3
- f) Brève extension au cas des fonctions à valeurs complexes 17
exo7 2085
Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) une fonction continue sur \([a,b]\) ( ...
exo7 2086
Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) continue, positive; on pose ...
exo7 2087
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\R}\) une application strictement croissante telle que ...
exo7 2091
Soit \(f\,:\;\R\to\R\) une fonction continue sur \(\R\) et ...
exo7 2092
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables ...
exo7 2093
Soit \(F(x)=\displaystyle \int_x^{x^2}\frac{1}{\ln t}d t\)
exo7 2094
Calculer les intégales suivantes: ...
exo7 2095
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2096
Soit \(\displaystyle I_n=\int_0^{\frac \pi 2}(\sin x)^n \, d x\) pour ...
exo7 2097
Soit \(\displaystyle I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}d x\).
exo7 2098
Calculer \(\int_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}d x\) (on posera \(\theta =\arcsin \frac xR\) ...
exo7 2315
Soit \(f\) une fonction continue définie sur un intervalle borné ...
exo7 2316
Soit \(f\) une fonction continue sur l’intervalle \([a,b]\subset\Rr\), à valeurs ...
exo7 2317
Soit \(f : [0,1]\to \Rr\) une fonction continue.
exo7 2318
Sans calculer les intégrales, montrer que \[\int_0^{\pi /2} \sin^n x dx = \int_0^{\pi /2} \cos^n x dx.\]
exo7 2321
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2322
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2323
Soit \(f\) une fonction continue dans \([0,\pi]\). Montrer, en utilisant un chang ...
exo7 2324
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions réelles périodiques de période ...
exo7 2326
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2327
Calculer les intégrales ...
exo7 2328
Soient \(a \neq 0\) un réel, et \(y>x>0\).
exo7 2329
Soit \(x>0\) un réel. Calculer les valeurs de ...
exo7 2330
Fonction Gamma - Pour tout \(x>0\), on pose ...
exo7 2331
Sans les calculer, dire si les intégrales suivantes sont convergentes ou divergentes : ...
exo7 2332
Sans les calculer, dire si les intégrales suivantes sont convergentes ou divergentes : ...
exo7 2333
Soit \(n \ge 0\) un entier. Montrer que l’intégrale ...
exo7 2334
On définit \[F(x) = \int_0^x {\sin t\over t}\ dt\] et pour tout \(n \in \Nn\), o ...
exo7 2335
Trouver les primitives des fonctions suivantes : ...
exo7 2336
Pour tous \(n\), \(p\) dans \(\Nn\), on définit ...
exo7 2337
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\left[0,1\right[\) par ...
exo7 2338
Dire si les intégrales suivantes sont convergentes (en discutant éventuellement suivant la valeur des paramètres) : ...
exo7 2339
Montrer la convergence des intégrales suivantes puis les calculer : ...
exo7 2354
Soit \(C\) l’espace des fonctions continues réelles sur \([0,1]\) muni de la métr ...
exo7 2432
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des endomorphismes de \(C^\infty(\R)\) ( ...
exo7 2658
Le but de cet exercice est de montrer que \[\forall n\geq3 \quad \pi(2n+1)\geq \ln2\times{2n+1 \over \ln(2n+1)}\] ...
exo7 2690
Soit \(f:[-a,a] \to \R\) une fonction de classe \(C^2\). Montrer que ...
exo7 2722
Montrer qu’il existe deux réels \(\alpha\), \(\beta\), tels que pour tout ...
exo7 3018
On pose
...
exo7 3260
Trouver \(a,b,c,d \in \R\) tels que : ...
exo7 3521
Soit \(E = \mathcal{C}([0,+\infty[ \to\R)\) et ...
exo7 3676
Soient \({f_1,f_2,\dots,f_n} : {[0,1]} \to {\R}\) continues.
Existe-t-il ...
exo7 3689
Soit \(P \in \R[X]\) de degré inférieur ou égal à 3 tel que ...
exo7 3727
Soit \({f_1,\dots,f_n} : I \to \R\) des fonctions continues de carrés intégrables sur l’intervalle ...
exo7 3803
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire défini par ...
exo7 3827
Calculer le minimum sur \(\R^2\) de ...
exo7 3828
Soit \(\varphi : {\R^n} \to \R\) définie par ...
exo7 3836
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions : \([a,b] \to \R^{+*}\) continues et ...
exo7 3841
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b],\R)\) et \(u : {[a,b]} \to \R\) une fonction continu ...
exo7 3939
Soit \(f : {\R^+} \to \R\) continue telle que ...