Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
d) Loi d’une variable aléatoire
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Loi $P_X$ d’une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $E$. | La probabilité $P_X$ est déterminée par la distribution de probabilités $(P(X=x))_{x\in E}$. On note $X\sim Y$ la relation $P_X=P_Y$. |
Variable aléatoire $f(X)$. | Si $X\sim Y$ alors $f(X)\sim f(Y)$. |
Variable uniforme sur un ensemble fini non vide $E$. | Notation $X\sim\mathscr{U}(E)$. |
Variable de Bernoulli de paramètre $p\in[0,1]$. | Notation $X\sim\mathscr{B}(p)$. Interprétation comme succès d’une expérience. |
Variable binomiale de paramètres $n\in\mathbb{N}^*$ et $p\in[0,1]$. Loi conditionnelle d’une variable aléatoire $X$ sachant un événement $A$. | Notation $X\sim\mathscr{B}(n,p)$. |
Couple de variables aléatoires. Loi conjointe, lois marginales. | Un couple de variables aléatoires est une variable aléatoire à valeurs dans un produit. Notation $P(X=x,Y=y)$. Extension aux $n$-uplets de variables aléatoires. |
Lancers de dé
On lance \(720\) fois un dé équilibré.
Loi binomiale et approximation normale
Une entreprise fabrique en grande série des capteurs. La probabilité qu’un capteur soit défectueux est ...
Loi binomiale sur tableur
Créer sur tableur la table des probabilités et des probabilités cumulées de \(\mathcal B(100,0{,}4)\), puis le dia ...
Loi conjointe
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles et soient ...
Loi d'un couple
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles discrètes dont la loi de ...
Loi d'un couple
Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \prob)\) un espace probabilisé. On considère deux variables aléatoires discrètes ...
Loi d'un couple de variables aléatoires
Soit \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires discrètes tel que : l’ensemble des valeurs prises par ...
Loi d'une variable aléatoire
Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs 3,4,5 et 6.
Loi d'une variable aléatoire discrète
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète telle que \(X(\Omega)=\{3,4,5,6\}\) te ...
Loi discrète, espérance, variance et probabilité conditionnelle
Une urne contient des jetons numérotés de \(1\) à \(5\). On tire un jeton au hasa ...
Loi jointe et indépendance d'un couple de variables aléatoires
Soit \((X, Y)\) un couple de variables aléatoires dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant :
...Lois usuelles
Un examen comporte un écrit et un oral.
Modélisation du nombre de connexions simultanées
Un fournisseur d’accès à Internet met en place un point local d’accès, qui dessert \(5000\) abonnés. Chaque abonné ...
Optimisation par approximation
Un usager de train effectue régulièremment \(100\) trajets par mois en première classe. On admet qu’à chacun de se ...
Problème de clés
Reconnaître une loi usuelle et ses paramètres
Pour chaque situation, indiquer la loi de probabilité la plus adaptée et préciser ses paramètres. On justifiera brièvement chaque réponse.
Répartition des ressources militaires
Un bataillon militaire dispose de deux types de véhicules : des véhicules blindés (notés \(X\)) et des drones de r ...
Réseau de transmissions
Un poste de commandement dessert \(5\,000\) terminaux de communication (véhicules, unités mobiles, postes radio). ...
Saturation d'un standard téléphonique
Une entreprise compte \(300\) employés. Chaque employé utilise son téléphone de manière aléatoire, en moyenne ...
Simulation et classement sur tableur
Simuler 200 tirages indépendants avec remise d’un élève parmi 13, chaque élève ayant la même probabilité. Représenter la répartition des résultats. ...
Sur-réservation d'un vol
Pour des raisons de rentabilité, le vol Océanic \(815\) reliant Sydney à Los Angeles a été sur-réservé. Il y a ...
Surbooking
Pour un vol aérien, il arrive fréquemment que le nombre de réservations soit supérieur au nombre passagers présents dans l’avion. Pour compenser ce ...
Surbooking militaire
Lors d’une opération de transport aérien stratégique, un avion militaire peut transporter au maximum 300 soldats. Pour optimiser l’utilisation des ...
Temps d'attente
Le temps d’attente à une caisse de supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire \(T\) qui suit une lo ...
Temps de transport
Une commune a lancé une étude concernant les problèmes liés au transport. Sur une ligne de bus, une enquête a permis de révéler que le retard (ou l ...
Tirage complet d'une urne
Soit \(n \in \N^*\). Une urne contient \(n\) boules blanches numérotées de ...
Transformations et propriétés de la loi log-normale
La loi log-normale de paramètres \(\mu\in\mathbb R\) et \(\sigma>0\), notée ...
Urne et variable aléatoire
Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un joueur tire au hasard une boule. Si elle est rouge, il gagne 10€, si el ...