Programme de mathématiques MP, MPI
Topologie des espaces vectoriels normés
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- introduire, dans le cadre des espaces vectoriels normés, le vocabulaire de la topologie ;
- donner, à travers l’étude des espaces vectoriels normés de dimension finie, un cadre commode pour traiter diverses applications à l’analyse (fonctions vectorielles, équations différentielles linéaires) ;
- introduire la notion de partie compacte dans un espace vectoriel normé, en soulignant le rôle qu’elle joue dans les résultats d’existence, notamment en matière d’optimisation ;
- introduire la notion de composante connexe par arcs d’un espace vectoriel normé, qui permet de généraliser le théorème des valeurs intermédiaires et intervient en calcul différentiel ;
- dégager l’idée fondamentale d’inégalité linéaire, qui apparaît lors de l’étude de la comparaison des normes et de la continuité des applications linéaires, et qui est quantifiée par la notion de norme d’opérateur.
Les notions seront illustrées par des exemples variés. On pourra ainsi travailler dans les espaces $\mathbb{K}^n$, les espaces de polynômes, d’applications linéaires ou de matrices, ainsi que dans divers espaces fonctionnels.
Il convient de souligner le contenu géométrique des notions abordées, notamment à l’aide de nombreuses figures. Lors de l’étude de la connexité par arcs, un dessin pertinent peut valoir preuve.
Les notions d’espace métrique et, a fortiori, d’espace topologique, sont hors programme. Il en est de même des notions de suite de Cauchy et d’espace de Banach.
Dans toute cette section, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Normes et espaces vectoriels normés 110
- b) Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé 76
- c) Comparaison des normes 32
- d) Topologie d’un espace normé 111
- e) Étude locale d’une application, continuité 131
- f) Applications linéaires et multilinéaires continues 76
- g) Parties compactes d’un espace normé 41
- h) Applications continues sur une partie compacte 28
- i) Connexité par arcs 9
- j) Espaces vectoriels normés de dimension finie 45
exo7 5900
Soit \((E,\|\;\|)\) un espace vectoriel normé et \(B=\{x\in E/\;\|x\| < 1\}\). ...
exo7 5902
Maximum du produit des distances d’un point \(M\) intérieur à un triangle \(ABC\) ...
exo7 6056
Montrer que dans un espace normé, la boule unité est convexe.
Réciproquement, supposons que l’espace vectoriel soit muni d’une application ...
exo7 6057
On considère dans \({\Rr}^2\), les deux applications ...
exo7 6058
On considère dans \({\Rr}^2\) les 4 boules euclidiennes fermées de rayon \(1\) ce ...
exo7 6059
Soit \(N\) un entier \(\geq1\), et \(E\), l’espa ...
exo7 6068
Soit \(f\) une application continue de \(\R\) dans ...
exo7 6069
Soit \(f\) une application de \(\R\) dans \(\R\) ...
exo7 6073
Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels normés et on note ...
exo7 6077
Soit \(C\) l’espace des fonctions continues réelles sur \([0,1]\) muni de la métr ...
exo7 6081
Soit \(f\) une application ouverte de \(X\) dans ...
exo7 6088
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\R\) ou ...
exo7 6089
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\C\) de boule unité fermée ...
exo7 6116
Montrer que \(\Zz\) et \(\Qq\) (munis de la topologie induite par celle de ...
exo7 6119
Montrer que le carré unité fermé et le disque fermé dans \({\Rr}^2\) sont homéomorphes.
exo7 6120
Montrer que la boule unité ouverte de \({\Rr}^n\) est homéomorphe à \({\Rr}^n\) t ...
exo7 6122
Soit \(F\) l’application de \({\Rr}^+\) dans ...
exo7 6132
Soit \(F\) un fermé de \(\Rr\), et \(f\) une app ...
exo7 6158
Dans \(\Rr^2\) on considère l’ensemble \(A\) des points dont une coordonnée au mo ...
exo7 6163
Soit \(f\) une application continue de \([a,b]\) dans ...
exo7 6178
Montrer que les sous-groupes compacts du groupe multiplicatif \(\Cc^*\) sont contenus dans ...
exo7 6179
On rappelle la construction de l’ensemble triadique de Cantor : on part du segment \([0,1]\) dont on supprime l’in ...
exo7 6180
On considère dans \(M_n(\Rr)\) le sous-ensemble des matrices de déterminant égal à ...
exo7 6181
Montrer que dans un evn, la boule unité fermée est compacte si et seulement si la sphère unité est compacte.
exo7 6182
Soit \(A\) une partie d’un espace normé \(E\). On note co ...
exo7 6184
Soit \(f\) une surjection continue de \(\Rr^2\) sur ...
exo7 6187
Montrer que la boule unité fermée d’un evn de dimension finie est compacte.
exo7 6188
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\Cc\) de boule unité fermée ...
exo7 6190
On considère une suite \((x_n)\) de \([0,1]\) telle que ...
exo7 6191
On note \({\mathbb{S}^1}\) le cercle unité dans \({\Rr}^2\), et ...
exo7 6192
Démontrer de plusieurs façons que le cercle unité \(\mathbb{S}^1\subset\Rr^2\) est compact.
exo7 6194
Soit \(E\) un espace normé, \(X\) et \(Y\) deux ...
exo7 6195
Soit \(E\) un espace normé, \(X\) et \(Y\) deux ...
exo7 6196
Soit \(K\) un convexe compact symétrique de \(\Rr^n\) contenant ...
exo7 6197
Trouver l’ensemble des valeurs d’adhérence quand \(x\to 0\) de ...
exo7 6199
Soit \(A\) une partie d’un espace normé \(E\). On note co ...
exo7 6200
Soit \(E=C_b(\Rr)\) muni de la norme uniforme; pour \(f\in E\), on note ...
exo7 6202
Soit \(K\) un convexe compact de \(\Rr^2\).
exo7 6204
On désigne par \(E\) l’espace \(C([-1,1])\) muni de la norme uniforme et par ...
exo7 6205
Soit \(E=C([0,1])\), \(\mu(x)=\int_0^1 x(t)\ dt\), ...
exo7 6206
On désigne par \(E\) l’espace \(C([0,1])\) muni de la norme uniforme et l’opérate ...
exo7 6207
Soit \(K\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit ...
exo7 6208
Montrer que pour tout \(x\in\Rr^n\), ...
exo7 6209
Sur \(M_n(\Rr)\) on note \(|A|=\sup_{||x||\leq1}||Ax||\) la norme opérateur de la ...
exo7 6237
Soit \(a,b\in E\) evn, ...
exo7 6239
On désigne par \(E\) l’espace \(C([0,1])\) muni de la norme uniforme et l’opérate ...
exo7 6240
On considère \(T:C([0,1])\to C([0,1])\) qui à \(f\) associe ...
exo7 6251
On considère \(l^1\) et \(l^2\) les espaces de suites réelles absolument et de ca ...
exo7 6258
Soit \(E\) et \(F\) deux evn sur \(\Cc\). Une ap ...
exo7 6263
Soit \(\Omega\) un ouvert convexe de \(\Rr^n\) et ...