Programme de mathématiques MP, MPI
f) Applications linéaires et multilinéaires continues
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Critère de continuité d’une application linéaire entre deux espaces normés : $u\in\mathscr{L}(E,F)$ est continue si et seulement s’il existe $C\in\mathbb{R}^+$ tel que $\forall x\in E,\ \lVert u(x)\rVert\leqslant C\lVert x\rVert.$ | Notation $\mathscr{L}_c(E,F)$. |
Norme subordonnée (ou norme d’opérateur) d’une application linéaire continue. | Notations $\lvert\kern-0.25ex\lvert\kern-0.25ex\lvert u\rvert\kern-0.25ex\rvert\kern-0.25ex\rvert$, $\lVert u\rVert_{\mathrm{op}}$. La norme d’opérateur est une norme sur $\mathscr{L}_c(E,F)$. Sous-multiplicativité de la norme d’opérateur. Adaptation aux matrices. |
Critère de continuité des applications multilinéaires. | La démonstration n’est pas exigible. |
Calcul différentiel
Cet exercice traite des notions de dérivées partielles, continuité et différentiabilité.
exo7 1804
Soit \(a\in {\Rr}^{2}\) fixé ; l’application ...
exo7 1871
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), défini ...
exo7 1872
Lorsqu’un espace vectoriel \(E\) est en outre muni d’une multiplication, l’application ...
exo7 1874
Soient \((E,\|\cdot\|_E)\) et \((F,\|\cdot\|_F)\) deux espaces vectoriels normés. ...
exo7 1875
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues de \([-1,1]\) à valeurs dan ...
exo7 1893
Soit \(\Vert \quad \Vert\) une norme sur \(\Rr ^n\) et ...
exo7 1895
On munit \(C[0,1]\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à v ...
exo7 1896
On munit \(E\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à valeur ...
exo7 1897
On munit \(E =C^1[0,1]\) et \(F=C [0,1]\) de la norme ...
exo7 2212
Soit \(A\) une matrice d’ordre \((m,n)\). Démontrer les inégalités suivantes pour ...
exo7 2220
Soit \(A=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&10^{-6} \end{array}\right)\)
exo7 2226
Soit \(A=LU\) la décomposition LU d’une matrice \(A\in\Rr^{n\times n}\) avec ...
exo7 2361
Soient \(E_1, E_2\) et \(F\) des espaces normés sur ...
exo7 2362
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés et ...
exo7 2363
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2364
Calculer la norme des opérateurs suivants:
exo7 2365
Soit \(X = \Rr[x]\) l’ensemble des polynômes. Pour ...
exo7 2366
Soit \(l^\infty\) l’espace des suites réelles muni avec la norme uniforme, i.e. ...
exo7 2367
Soit \(X\) un espace normé, \(L:X\to \Rr\) une form ...
exo7 2368
Soit \(X={\cal C}([0,1])\) avec la norme \(\| f\| = \int _0^ 1 |f(t)|\, dt\). Mon ...
exo7 2369
Soit \(X = \{f\in {\cal C}(\Rr ) \; ; \; (1+x^ 2 ) |f(x)| \text{ soit bornée}\}\). On pose ...
exo7 2498
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2499
Soient \(||.||_1\) et \(||.||_2\) deux normes sur ...
exo7 2501
Calculez la norme des opérateurs suivants:
exo7 2502
Soit \(X={\mathcal C}([0,1])\) avec la norme \(||f||=\int_0^1 |f(t)|dt\). Montrez ...
exo7 2512
Soit \(X= {\cal C} ([0,1])\) muni de la norme uniforme et soit \(f\) une applicat ...
exo7 2515
Soit \(f:\Rr^2 \to \Rr\) l’application ...
exo7 3759
Soit \(f : {\R^n} \to {\R^n}, {(x_1,\dots,x_n)} \mapsto {(x_1-x_n,x_2-x_1,\dots,x_n-x_{n-1}).}\) Avec la structure ...
exo7 3840
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire usuel et, pour ...
exo7 3841
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b],\R)\) et \(u : {[a,b]} \to \R\) une fonction continu ...
exo7 4085
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : \R \to \R\) de classe ...
exo7 4666
On note : \(E^{\phantom 1} = \{\text{fonctions continues }2\pi\text{-périodiques }f : \R \to \C\}\) ;
...
exo7 4736
Soient \(E\), \(F\) deux espaces vectoriels normés et ...
exo7 4756
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\R\) ou ...
exo7 4781
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(\cal P\) l’ensemble des projecteurs de ...
exo7 4802
Soient \(E,F\) deux \(\R\)-espaces vectoriels normés, ...
exo7 4804
Soit \(E\) un \(\R\)-ev de dimension finie et ...
exo7 4805
\(E\) est l’ensemble des fonctions de \(\R\) dans ...
exo7 4806
Soient \(E,F\) deux evn de dimensions finies et \(\varphi : E \to F\) liné ...
exo7 4807
Soient \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. À ...
exo7 4808
Soit \(\mathcal{C}(\R)\) l’ensemble des suites réelles convergentes muni de la norme ...
exo7 4810
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 4811
Soit \(E\) un \(\C\)-evn et ...
exo7 4812
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(f \in \mathcal{L}(\R^n)\), ...
exo7 4813
Soit \(E = \R[x]\) muni de la norme : ...
exo7 4814
Soit \(E\) un espace vectoriel normé et \(u,v \in \mathcal{L}(E)\) t ...
exo7 4815
On note \(E=\mathcal{C}^\infty([0,+\infty[,\R)\) et \(D\) l’endomorphisme de ...
exo7 4816
On munit \(E_k = \R_k[X]\) de la norme \(\|P\|_k = \sum_{i=0}^k |P(i)|\). Calcule ...
exo7 4817
Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u = (u_n)\) borné ...