Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Fonctions de deux variables
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Le but de cette section, dont le contenu sera entièrement repris dans un cadre plus général en seconde année, est de familiariser les étudiants avec les calculs sur les dérivées partielles, notamment avec la « règle de la chaîne », et de développer une vision géométrique des fonctions de deux variables. Le point de vue est donc essentiellement pratique. Toute extension et tout développement théorique supplémentaire sont hors programme.
- a) Ouverts de $\mathbb{R}^2$, fonctions continues 75
- b) Dérivées partielles 225
- c) Dérivées partielles et composées 80
- d) Extremums 74
exo7 6837
Soit \(f: \ ]0,+\infty[\ \times \ ]0,+\infty[ \ \times \Rr \to \Rr\) la fonction ...
exo7 6874
On considère le changement de variables en coordonnées sphériques suivant : ...
exo7 6876
On considère le champ vectoriel \(\vec{V}(x,y)=(1+2xy,x^3-3)\). Ce champ est-il un champ de gradient ?
exo7 6877
Quel est le champ vectoriel qui dérive du potentiel \[U(x,y,z)=1+x+xy+xyz ?\]
exo7 6883
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) un fermé non vide de ...
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Extremum d'un polynôme
Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par : ...
Fonction de $n$ variables et laplacien nul
Soit \(g \colon ]0;+\infty[ \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\). So ...
Fonction de deux variables
On considère la fonction \(f(x,y)=x^3-3x^2y+y^3\).
Fonction de deux variables et surface représentative
A chaque fonction définie ci-dessous (1-6), associer sa surface représentative (A-F).
3
- ...
Fonction de deux variables non continue
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R^2\) par ...
Fonction deux variables
Déterminer les extrémums locaux des applications suivantes définies sur \(\R^2\):
Fonction Logarithmique
On considère la fonction définie par \(f(x,y)=\ln(4-x^2-y^2)\).
Fonctions homogènes
Soit \(\alpha \in \R\). Soit \(f \colon \R^* \times \R^* \to \R\) de classe ...
Fonctions périodiques
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction différentiable telle que pour tout ...
Gradient et lignes de niveau
On considère une colline modélisée par la fonction altitude \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : ...
Identification de graphes de fonctions
Un élève a collecté les graphes de fonctions des exercices précédents mais ne se souvient plus à quel exercice correspond chaque graphe. Pour chacu ...
Limite et continuité
Soit la fonction \(g \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Limite et continuité d'une fonction définie sur $\R^2$
Soit \(f \colon \R^2 \to \R\), ...
Limite et continuité d'une fonction définie sur $\R^2$
Étudier l’existence et le cas échéant, calculer \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\]
Limite et continuité en un point
Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}^2\) telle que ...
Lire une vallée quadratique
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Minimum global d'une forme quadratique affine
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Méthode des moindres carrés
On considère des points \(M_{1}, \ldots, M_{n}\) de \(\mathbb{R}^{2}\), et on not ...
Optimisation avec contrainte
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Optimisation d'une fonction d'efficacité sur un disque fermé
Dans une zone militaire, l’efficacité de détection d’un radar est modélisée par la fonction : ...
Optimisation simple
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Optimiser sur un triangle
On considère le triangle \[T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\geq0,\ y\geq0,\ x+y\leq2\}\] et la fonction ...
Ouverts et fermés dans $\R^2$
Déterminer si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés dans \(\R^2\).
Points critiques d'une fonction de deux variables
Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums de $f(x,y)=x^2y^3+(y-1)^2$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums de $f(x,y)=xye^{-(x^2+y^2)}$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums locaux
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Problème concret
On désire fabriquer par une imprimante 3D une boite ayant la forme d’un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus. Le volume de cette ...
Problème de continuité
Soit \(f: \R^2 \to \R\) définie par : ...
Prolongement continu et dérivées partielles en l'origine
On définit \(f : \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \to \mathbb{R}\) par ...
Quand une ReLU bloque l'apprentissage
On considère un réseau à une entrée, un neurone caché et une sortie linéaire : ...
Question d'optimisation
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
Recherche d'extremum d'une fonction de deux variables
Soit \(f : \Rr ^2\rightarrow \Rr\) l’application ...
Recherche des extremums globaux
On considère la fonction \(f\) définie par ...
Représentation graphique de sous-ensembles de $\mathbb{R}^2$
Représenter graphiquement les sous-ensembles suivants de \(\mathbb{R}^2\). Lesquels sont des ouverts ? Aucune just ...
Règle des chaînes
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction différentiable.
Régression linéaire
On dispose d’observations \((x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\). On cherche les "meilleurs" coefficients ...
Rétropropagation à travers le temps (BPTT)
On considère un RNN simple scalaire (\(h_t \in \mathbb{R}\)) défini par : ...
Rétropropagation à une variable
Vous allez travailler avec un réseau de neurones à une couche cachée, conçu pour effectuer une tâche de prédiction simple.
Descripti ...
Solution d'une EDP
Soient deux fonctions \(g,h\) d’une variable réelle, de classe \(\mathcal{C}^2\) ...
Une rétropropagation de bout en bout
On considère un réseau à une entrée, un neurone caché et un neurone de sortie : ...
Vrai ou Faux
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(\mathcal{D}\) de ...
Étude d'un domaine de $\R^2$
Soit \(D = \{(x,y) \in \R^2 \, , \, x > 0 \, , \, x+y \leq 0\}\) un domaine de ...
Étude d'un domaine de $\R^2$
Soit \(D = \{(x,y) \in \R^2 \, , \, y \geq 0 \, , \, x-y > 0\}\) un domaine de ...