Programme de mathématiques PC
A - Compléments sur les séries numériques
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Cette section a pour objectif de consolider et d’élargir les acquis de première année sur les séries, notamment la convergence absolue, en vue de l’étude des probabilités discrètes et des séries de fonctions.
L’étude de la semi-convergence n’est pas un objectif du programme.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Technique de comparaison série-intégrale. | Les étudiants doivent savoir utiliser la comparaison série-intégrale pour établir des convergences et des divergences de séries, estimer des sommes partielles de séries divergentes ou des restes de séries convergentes dans le cas d’une fonction monotone. |
Formule de Stirling : équivalent de $n!$. | La démonstration n’est pas exigible. |
Règle de d’Alembert. | |
Théorème spécial des séries alternées, majoration et signe du reste. | La transformation d’Abel est hors programme. |
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. | La démonstration n’est pas exigible. |
exo7 4460
Soit \((u_n)\) une suite réelle positive décroissante. On pose ...
exo7 4461
Soit \((u_n)\) définie par : \(u_1 \in \R\), ...
exo7 4463
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(0 < u_0 < 1\) et ...
exo7 4466
Soit \(\alpha > 0\). On pose ...
exo7 4471
Soit \((a_n)\) une suite bornée telle que pour tout entier \(p \ge 2\) : ...
exo7 4473
Soient \(k,p \in \N\) avec \(k \le p\). Montrer que ...
exo7 4474
Soit \((u_n)\) une série convergente à termes positifs décroissants.
exo7 4480
Montrer qu’il existe \(C\in\R\) tel que ...
exo7 4481
Soit \((u_n)\) une suite de complexes telle que ...
exo7 4486
Soit \(P(n)=\max\{p \text{ premier},\, p\mid n\}\). Montrer que ...
exo7 4490
Étudier la finitude des sommes suivantes :
exo7 4495
Soit \(z\in\C\) tel que \(|z| < 1\). Montrer que ...
exo7 4499
On réordonne les termes de la série harmonique alternée en prenant tour à tour \(p\) termes positifs puis ...
exo7 4565
Trouver le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) :
exo7 4569
On considère les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par : ...
exo7 4616
Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini. Montrer l’équivalence e ...
exo7 4715
On considère la fonction \(f\) : ...
exo7 5688
Nature de la série de terme général
exo7 5689
Nature de la série de terme général
1) (***) \(\sqrt[4]{n^4+2n^2}-\sqrt[3]{P(n)}\) où ...
exo7 5690
Nature de la série de terme général
1) (***) \(\sin\left(\frac{\pi n^2}{n+1}\right)\) ...
exo7 5691
Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.
exo7 5694
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs. Montrer que les séries de termes généraux ...
exo7 5699
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général ...
exo7 5701
On sait que \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots=\ln2\).
A partir de la série précédente, on cons ...
exo7 5702
Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(k(n-k))^\alpha}\).
exo7 5703
Convergence et somme éventuelle de la série de terme général
1) (**) ...
exo7 5705
Déterminer un équivalent simple de \(\frac{n!}{(a+1)(a+2)\ldots(a+n)}\) quand ...
exo7 5707
Développement limité à l’ordre \(4\) de \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\) q ...
exo7 5708
Partie principale quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de
exo7 5710
Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}\).
exo7 5712
Convergence et somme de la série de terme général \(u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\), ...
exo7 5722
(Hors programme) Convergence et calcul de \(\int_{1}^{+\infty}\frac{(-1)^{E(x)}}{x}\;dx\).
exo7 5734
Pour \(n\in\Nn^*\), soit ...
exo7 5741
Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.
exo7 5745
Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants :
exo7 5751
Pour \(n\in\Nn\), on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos^nt\;dt\). Rayon de convergen ...
exo7 5754
Pour \(n\) entier naturel, on pose ...
exo7 5759
Soient \((a_n)_{n\in\Nn}\) et \((b_n)_{n\in\Nn}\) deux suites de réels strictemen ...
exo7 5878
Déterminer le rayon de convergence puis calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{C_{2n}^n}{2n-1}x^n\) quand ...
exo7 7544
Déterminer le rayon de convergence de la série \(\sum 2^{2n}z^{2n}\).
Rayon de convergence et calcul de somme
On considère la série entière à variable réelle \[T(x)=\sum_{n\ge 0}\frac{2^{n+1}}{n+1}\,x^{n+1}.\]
Série télescopique cachée et équivalent
Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose ...
Séries de Bertrand
Soient \(\alpha \in \R\) et \(\beta \in \R\) deux paramètres réels. On s’intéress ...
Séries de même nature via un équivalent
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et soit ...
Étude d'une série à termes positifs
Soit la suite \((u_n)\) définie par : ...
Étude de séries numériques (1)
Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente, semi-convergente, diver ...
Étude de séries numériques (2)
Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente, semi-convergente, diver ...
Étude d’une famille de séries à l’aide d’une rationalisation
Pour tout \(\beta\in\mathbb{R}\), on considère la suite définie pour tout ...