Programme de mathématiques PSI
A - Compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices
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Le programme est organisé autour de trois objectifs :
- consolider les acquis de la classe de première année ;
- introduire de nouveaux concepts préliminaires à la réduction des endomorphismes : somme de plusieurs sous-espaces vectoriels, somme directe, sous-espaces stables, matrices par blocs, trace, polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées, polynômes interpolateurs de Lagrange ;
- passer du point de vue vectoriel au point de vue matriciel et inversement.
Le programme valorise les interprétations géométriques et préconise l’illustration des notions et résultats par de nombreuses figures.
- a) Produit d’espaces vectoriels, somme de sous-espaces vectoriels 20
- b) Matrices par blocs et sous-espaces stables 39
- c) Trace 30
- d) Polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées 90
- e) Interpolation de Lagrange 18
exo7 1700
Soit \(A\in M_3 (\R )\) telle que \(A^3=-A\) et ...
exo7 1702
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1703
Soit \(A\in\mathcal{M}_{3}(\R)\) la matrice ...
exo7 1716
Calculer les puissances et l’exponentielle (\(e^M=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!}\)) des matrices suivantes : ...
exo7 1722
Donner un exemple de deux matrices de \(\mathcal{M}_4(\Rr)\) ayant même polynôme caractéristique et même polynôme ...
exo7 1723
Soit le \(\Rr\)-espace vectoriel ...
exo7 1725
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1728
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient ...
exo7 1909
Déterminer le centre de gravité du culbuto (homogène), i.e. le cône ...
exo7 2211
Démontrer l’identité \[(A + UBV)^{-1} = A^{-1} -A^{-1} U( I+BVA^{-1}U)^{-1} BVA^{-1}\] en précisant:
-
...
exo7 2442
Pour toute matrice carrée \(A\) de dimension \(n\), on appelle trace de ...
exo7 2470
Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal M_n(\C)\) ; on suppose qu’il existe un entie ...
exo7 2472
Soient \(u, v\) deux endomorphismes d’un espace vectoriel complexe \(E\). On supp ...
exo7 2564
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) ( ...
exo7 2569
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2573
(7 points) On considère la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par ...
exo7 2576
(9 points) Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la ...
exo7 2577
(7 points) Soient \(M\) et \(A\) deux matrices de ...
exo7 2594
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2596
Soit \(P(X)\) un polynôme de \(\C[X]\), soit ...
exo7 2599
Soit \(m\in\R\), et \(A\) la matrice ...
exo7 2615
Questions préliminaires :
exo7 3187
Donner un isomorphisme \(f\) entre \(\C^{n+1}\) et ...
exo7 3188
Déterminer tous les polynômes \(P\) tels que ...
exo7 3346
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3357
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(GL(\R^n)\) et ...
exo7 3365
Soient \(A_1 \in \mathcal{M}_{n,p_1}(K)\), \(A_2 \in \mathcal{M}_{n,p_2}(K)\), ...
exo7 3377
Une matrice carrée \(M\) est dite magique si les sommes des coefficients de ...
exo7 3386
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). On suppose qu’il existe \(\lambda,\mu \in K\) e ...
exo7 3396
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &2 &3\cr 2 &3 &1\cr 3 &1 &2 \cr\end{pmatrix}\).
exo7 3423
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\), \(n\) scalaires distincts et ...
exo7 3430
Soient \(A,B,C,D \in \mathcal{M}_n(K)\) avec \(A\) inversible et ...
exo7 3438
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\), ...
exo7 3447
Soit \(A\) un anneau commutatif, \(x_1,\dots,x_n\in A\). Dé ...
exo7 3456
Soient \(a_1, \dots ,a_n \in K\). Le déterminant de Vandermonde associé aux ...
exo7 3458
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \R\). Mettre le déterminant : ...
exo7 3459
Soit \(k \le n-1\) et \(M = \Bigl( (x_i+y_j)^k \Bigr)\). Écrire ...
exo7 3469
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) de rang 1. Montrer que \(A\) est une matrice de p ...
exo7 3471
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{n,q}(K)\). On consi ...
exo7 3475
Soit \(M = \begin{pmatrix} A & B \cr C & D \cr \end{pmatrix}\) une matrice carrée décomposée en blocs. On ...
exo7 3480
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) antisymétrique.
exo7 3482
Soit une matrice \(M\) de rang \(r\) telle que : ...
exo7 3495
Soit \(E\) un \(\R\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3513
Soient \(\alpha, \beta, \gamma \in K\) distincts, et ...
exo7 3523
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) et \(f : E \to E, u {\tilde u}\) avec ...
exo7 3535
Soient \(A,B\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer l’équivalence entre :
(a) : ...
exo7 3536
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3542
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(A^2 = A\) et ...
exo7 3543
Soient \(E\) un ev de dimension finie sur \(\C\) et ...
exo7 3546
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que \(A = A^{-1}\). ...