Programme de mathématiques PT
Équations différentielles et calcul différentiel
Rechercher dans cette partie du programmeexo7 6368
Soit \(a>0\) et soit \(f: \Rr \times \Rr^n \to \Rr^n\) une application de clas ...
exo7 6402
Montrer que \(3\) points \(x, y\) et \(z\) sont ...
exo7 651
Donner un exemple de fonction continue sur \([0,1]\) non lipschitzienne, puis de fonction continue en un seul poin ...
exo7 665
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), montrer : ...
exo7 6739
Soit \(f\) une fonction continue du quart de plan \(\{x+iy;\ x,y\geq0\}\) dans ...
exo7 6775
(D’abord un cas particulier) Dans \(\Rr^3\) on considère les objets suivants : le demi-espace ...
exo7 6803
Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte ...
exo7 6805
Soit \(f:\Rr^2 \to \Rr^2\) définie par \(f(x,y) = (x^2-y, x^2 + y^2)\). On défini ...
exo7 6807
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\Cc\). On désigne par ...
exo7 6810
Soit \(W = \{\,(x,y) \in \Rr^2 \mid x>0 \,\}\) et ...
exo7 6822
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) on considère le système ...
exo7 6823
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (1,1+y^2)\).
exo7 6828
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) ...
exo7 6829
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (x^2,xy)\).
exo7 6845
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) ...
exo7 6883
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) un fermé non vide de ...
exo7 697
\(f:[a,b]\rightarrow {\Rr}\) est à variation bornée si et seulement si : ...
exo7 6996
Pour les équations différentielles suivantes, trouver les solutions définies sur \(\R\) tout entier :
exo7 855
Soit l’équation différentielle : \[(E):\frac{dy(x)}{dx}+y(x)=x^{2}+2x\] Intégrer ...
exo7 864
Résoudre l’équation suivante : \[y^{\prime\prime}- y =-6\cos x + 2x\sin x.\]
exo7 865
Résoudre l’équation suivante : \[4y^{\prime\prime}+4y^\prime + 5y = \sin x e^{-x/2} .\]
exo7 866
On considère l’équation : \[y^{\prime\prime} + 2y^\prime + 4y = xe^x \qquad (E)\]
exo7 871
Déterminer l’ensemble des solutions réelles des équations :
a) \(y^{\prime\prime}+ y^\prime -6y=e^{3x}\),
b) ...
exo7 874
Trouver les \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) deux fois dérivables telles que ...
exo7 875
Résoudre sur \(]0, + \infty[\) \(xy''-y'-x^3y = 0\) en posant ...
exo7 879
En posant \(z=\frac{1}{y}\) et en supposant que \(y\) ne s’annulle pas, résoudre ...
exo7 883
Montrer que toute solution de \(y''(x)e^{-x^{2}}+y(x)=0\) est bornée sur ...
exo7 884
En posant \(t=\arctan x,\) résoudre : ...
exo7 885
Résoudre par le changement de fonction \(z=\frac{y}{x}\) l’équation différentielle : ...
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Fonction de deux variables
On considère la fonction \(f(x,y)=x^3-3x^2y+y^3\).
Fonction deux variables
Déterminer les extrémums locaux des applications suivantes définies sur \(\R^2\):
Fonctions homogènes
Soit \(\alpha \in \R\). Soit \(f \colon \R^* \times \R^* \to \R\) de classe ...
Gradients matriciels et règle de la chaîne
On se place dans l’espace des matrices réelles \(\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})\). On munit cet espace du produit s ...
Limite et continuité en un point
Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}^2\) telle que ...
Ouverts et fermés dans $\R$
Déterminer si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés dans \(\R\).
...
Problème concret
On désire fabriquer par une imprimante 3D une boite ayant la forme d’un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus. Le volume de cette ...
Prolongement continu et dérivées partielles en l'origine
On définit \(f : \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \to \mathbb{R}\) par ...
Recherche des extremums globaux
On considère la fonction \(f\) définie par ...
Représentation graphique de sous-ensembles de $\mathbb{R}^2$
Représenter graphiquement les sous-ensembles suivants de \(\mathbb{R}^2\). Lesquels sont des ouverts ? Aucune just ...
Règle des chaînes
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction différentiable.
Résolution d'équation différentielle
Exprimer sous forme d’une série entière la solution de l’équation différentielle \((E)\): ...
Séries entières solutions d'équations différentielles
Déterminer les fonctions développables en série entière au voisinage de \(0\) solutions de l’équation différentiel ...
Étude d'une fonction
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction définie par ...
Étude de la classe $\mathcal{C}^1$ de $f(x,y)=e^{-1/(x^2+y^2)}$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Étude de la classe $\mathcal{C}^1$ de $f(x,y)=x^2y^2\ln(x^2+y^2)$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...