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On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(0 < u_0 < 1\) et ...

Soit \((u_n)\) une suite définie par la donnée de \(u_0 \in \R^*\) et la relation ...

On se donne \(u_1\) et \(a\) deux réels strictement positifs et l’on définit par ...

Soient \(\sum a_n\), \(\sum b_n\), \(\sum c_n\) ...

Soit \(\sum u_n\) une série convergente. On pose ...

Soit \((a_n)\) une suite bornée telle que pour tout entier \(p \ge 2\) : ...

Soit \(\sum_{n\ge1} x_n\) une série absolument convergente telle que pour tout entier ...

Soient \(k,p \in \N\) avec \(k \le p\). Montrer que ...

Soit \((u_n)\) une série convergente à termes positifs décroissants.

Soit \((a_n)\) une série positive convergente, \(A = \sum_{k=0}^\infty a_k\), ...

Soit \((a_n)\) une suite réelle positive et \((u_n)\) la suite définie par la rel ...

Soit \(\cal S\) l’ensemble des suites croissantes d’entiers \((q_i)\) telles que ...

Soit \((u_n)\) une suite de complexes telle que ...

Soient deux suites de termes généraux \(u_n\) et \(v_n\) définies par la donnée d ...

On considère une suite \((a_n)\) de réels et on définit ...

Soit \(P(n)=\max\{p \text{ premier},\, p\mid n\}\). Montrer que ...

Étudier la finitude des sommes suivantes :

Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n}^{+\infty}\frac1{k!}\).

Calculer \(\sum_{p=1}^{+\infty}\sum_{q=p}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{q^3}\) en fonction de ...

On pose \(a_{n,p} = \frac1{\strut n^2-p^2}\) si \(n\ne p\) et ...

Soit \(z\in\C\) tel que \(|z| < 1\). Montrer que ...

Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1+t^n}\).

Soient \(a,b,c\in\N^*\). On pose ...

On réordonne les termes de la série harmonique alternée en prenant tour à tour \(p\) termes positifs puis ...

Soit \(f(a) = \sum_{n=0}^\infty e^{-a^2n^2}\) sous réserve de convergence ...

[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]

Soit \(f_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{\sin kx}k\).

Soit \((a_n)\) une suite décroissante de limite nulle. Montrer que la série ...

Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n=(-1)^n \int_{t=0}^1 \cos (nt^2)\,d t\).

Calculer \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1^2+2^2+...+k^2}\).

Nature de la série de terme général

Nature de la série de terme général

1) (***) \(\sqrt[4]{n^4+2n^2}-\sqrt[3]{P(n)}\) où ...

Nature de la série de terme général

1) (***) \(\sin\left(\frac{\pi n^2}{n+1}\right)\) ...

Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle que la série de terme ...

Soit \(\sigma\) une injection de \(\Nn^*\) dans lui-même. Montrer que la série de ...

Trouver un développement limité à l’ordre \(4\) quand \(n\) tend vers l’infini de ...

Nature de la série de terme général \(u_n=\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right)\).

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels positifs. Trouver la nature de la série de terme général ...

On sait que \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots=\ln2\).

A partir de la série précédente, on cons ...

Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(k(n-k))^\alpha}\).

Convergence et somme éventuelle de la série de terme général

Partie principale quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de

Soit \(p\in\Nn^*\), calculer ...

Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}\).

Soient \((u_n)_{n\geqslant1}\) une suite réelle. Pour \(n\geqslant 1\), on pose ...

Convergence et somme de la série de terme général \(u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\), ...

Pour \(n\) entier naturel, on pose ...

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Montrer qu’il existe \(p_0\in\Nn\) tel que ...

Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn^{*}}\) définie par : ...